Contrarellotge temàtica: el Sol (4t d'ESO)
Dimecres, 8 de març de 2017 a les 19:00

Entra o registra't per participar al Concurs virtual per reviure aquesta contrarellotge. Se t'aniran plantejant els problemes com el dia del concurs, i a més competiràs contra els participants d'aquell dia: veuràs com van marcant les respostes tal com ho van fer el durant del concurs.

Podràs repetir tants cops com vulgues, i el teu resultat només es farà públic si ho tries així.

Enhorabona a tots els participants!

I especialment als guanyadors de la prova oficial: Julian, Arisb i MasterPlus.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Problema 1
3 punts   •   1 min 30 s

Pintem les cares exteriors d'un cub de $6\times6\times6$ format per petits cubs de $1\times1\times1$. Quants cubs petits s'han quedat sense pintar?
A. $125$
B. $152$
C. $64$
D. $61$
E. $98$
En blanc
Mostra solució
S'han quedat sense pintar tots els cubs que no hi són a la superfície. Això és el cub de $4\times4\times4$ de l'interior, en total: $$N_{\text{cubs petits}}=4^3=64$$

Problema 2
3 punts   •   1 min 30 s

Enguany ens ha deixat Raymond Smullyan, matemàtic americà autor de molts llibres de matemàtica recreativa. Vegem un dels deus problemes:

Un comerciant compra un ocell per $7$€, i el ven poc després per $8$€. El torna a comprar més endavant per $9$€ i l'acaba venent per $10$€. Quin benefici ha obtingut?

A. Cap: es queda igual
B. Cap: perd $1$€
C. $1$€
D. $2$€
E. Cap de les anteriors
En blanc
Mostra solució
En total s'ha gastat $7+9=16$€, i n'ha ingressat $8+10=18$€, per tant ha guanyat $18-16=2$€. Adonem-nos que tant se val si el segon ocell que comprat és el mateix que l'inicial o un altre.

Problema 3
3 punts   •   1 min 30 s

Si $x$ és un número enter negatiu, quina expressió serà sempre la més gran?
A. $x+1$
B. $2x$
C. $-2x$
D. $6x+2$
E. $x-2$
En blanc
Mostra solució

Si prenem per el $-1$ i avaluem, tenim que:

  • $x+1 = -1 + 1 = 0$
  • $2x = 2\cdot(-1) = -2$
  • $-2x = -2\cdot(-1) = 2$
  • $6x+2 = 6\cdot(-1)+2 = 0$
  • $x-2=-1-2=-3$
És fàcil observar que a mesura que $x$ disminueix, l'expressió $-2x$ és la única que augmenta de valor.

Problema 4
3 punts   •   1 min 30 s

Quin número hi ha exactament enmig de $\frac12$ i $\frac43$?
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{7}{8}$
E. $\frac{11}{12}$
En blanc
Mostra solució
Fem la mitjana: $$\frac{\frac12 + \frac43}2=\frac{\frac{11}6}{2}=\frac{11}{12}$$

Problema 5
3 punts   •   1 min 30 s

Amb quants zeros acaba el producte dels primers $100$ nombres primers?
A. $0$
B. $1$
C. $2$
D. $100$
E. $1000$
En blanc
Mostra solució

Per acabar amb $0$ un número, ha de ser múltiple de $10$. Si acaba amb $2$ zeros serà múltiple de $10^2=100$, etc.

Entre els primers $100$ nombres primers només apareix un cop el factor $2$ i un cop el factor $5$, de manera que el producte de tots els números serà múltiple de $10$, però no de $100$. Per tant, acaba amb $1$ zero.

Problema 6
4 punts   •   3 min

A una bossa tenim $3$ sols i $1$ lluna. Si sense mirar en traiem tres aleatòriament, quina és la probabilitat de triar els $3$ sols?

A. $\frac25$
B. $\frac12$
C. $\frac13$
D. $\frac14$
E. $\frac16$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 7
4 punts   •   3 min

EL 28 d'abril de 1930 va haver un eclipsi solar. Si el proper eclipsi va ser $176$ dies després, quin dia del mes va ocórrer aquest segon eclipsi? (Si el proper hagués sigut a l'endemà, diríem que va ser $1$ dia després).
A. $18$
B. $19$
C. $20$
D. $21$
E. $22$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 8
4 punts   •   3 min

A cadascuna de les $7$ figures del Tetris:

Li afegim un quadrat on vulguem, sempre que tinga un costat coincident amb el costat d'algun dels quadrats de la figura. Per exemple:

Quin és el màxim nombre de les figures resultants que tinguin algun eix de simetria?

A. $3$
B. $4$
C. $5$
D. $6$
E. $7$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 9
4 punts   •   3 min

Avui, 8 de març, és el dia internacional de les dones. Per fer el símbol de la dona, retallem una creu quadrada (tots els costats mesuren $1$) a l'interior d'una cartolina rodona morada, com veiem a la figura:

Quina és l'àrea de la zona que rebutgem (en blanc)?

A. $\frac52\pi-5$
B. $3\pi-5$
C. $10\pi-5$
D. $2\pi$
E. $\frac72\pi-5$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 10
4 punts   •   3 min

Alba, Balma i Carla ens proposen una endevinalla. Cadascuna d'elles ha decidit mentir o dir la veritat, i sempre ho compleixen. Ens diuen:

— Alba diu: Balma menteix!

— Balma diu: Carla menteix!

— Carla diu: Alba i Balma menteixen!

Qui diu la veritat?

A. Alba
B. Balma
C. Carla
D. Alba i Balma
E. Totes menteixen
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 11
5 punts   •   4 min 30 s

Situem $5$ punts $P_1,\,P_2,\,\ldots,\,P_5$ sobre una recta:

Triem un altre punt $Q$ de la recta i calculem la suma de les distàncies de $Q$ a cadascun dels altres punts.

On hem de situar $Q$ per tal de minimitzar aquesta suma?

A. $\frac{P_1+P_5}2$
B. $\frac{P_2+P_4}2$
C. $P_2$
D. $P_3$
E. Depén dels punts
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 12
5 punts   •   4 min 30 s

Unint els punts mitjos dels costats d'un hexàgon regular, construïm un altre hexàgon regular més petit (vermell): Quina proporció de l'hexàgon gran està ocupada per l'hexàgon interior vermell?
A. $\frac12$
B. $\frac23$
C. $\frac34$
D. $\frac45$
E. $\frac\pi4$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 13
5 punts   •   4 min 30 s

Un enter $n$ té exactament $2$ divisors. $n+1$ en té exactament $3$. Quants divisors té $n+2$?
A. 2
B. 3
C. 4
D. Depén de $n$
E. Cap $n$ ho compleix
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 14
5 punts   •   4 min 30 s

Donat un triangle rectangle, dibuixem un quadrat amb dos costats sobre els catets i un vèrtex sobre la hipotenusa:

Anomenem $A$ l'àrea del quadrat. Si l'àrea del triangle vermell és: $$A_{\text{vermell}}=m\cdot A$$ Quina és l'àrea del triangle blau?

A. $\frac{A}{2m}$
B. $\frac{A}{3m}$
C. $\frac{A}{4m}$
D. $\frac{m}{A}$
E. $\frac{A}{m+2}$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 15
5 punts   •   4 min 30 s

El Sol és una estrella activa que sovint produeix erupcions solars $(E)$ i explosions de gas $(G)$, les quals els astrònoms sempre vigilen perquè poden danyar els satèl·lits i els astronautes.

Certa setmana hi han hagut dues explosions de gas en dies diferents. Per altra banda, també hi han hagut dues erupcions solars en dies diferents (entre elles dues).

Quina és la probabilitat que almenys una erupció i una explosió hagin coincidit el mateix dia?

A. $\frac{23}{42}$
B. $\frac{4}{7}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{10}{21}$
E. $\frac{11}{21}$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Concurs 4t d'ESO
Estudiants que cursen 4t d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Punts Respostes
1. 3e  469 73,75 ◌
2. 4e  Arisb 59,25
3. 3e  MasterPlus 50,75
4. 1b  Gauss 49,5 ◌ ◌ ◌ ◌
5. 3e  lauraco... 48,25
6. 4e  Patricia 47,0 ◌ ◌
7. 4e  arnaupa... 46,5 ◌
8. 3e  andrea02 46,25
9. 4e  CintaArnau 45,75 ◌
10. 3e  sergilo... 43,0 ◌ ◌
11. 3e  asantosn 42,25
11. 3e  nerea 42,25
13. 4e  martiju... 42,0 ◌
14. 3e  Lledóes... 41,25
15. 3e  JorgeSe... 40,75
15. 3e  Ssr 40,75 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
17. 3e  FRANPASTOR 39,5
18. 4e  alba_pi... 38,0 ◌ ◌
19. 3e  BeaT 36,75
20. 4e  ViviCan28 35,0 ◌ ◌
21. 3e  ainhoas... 33,5
21. 3e  Cristina 33,5
23. 2e  nayla_1108 33,0
24. 3e  angela_... 32,25
25. 3e  MarcGar... 32,0 ◌
25. 3e  Paula 32,0
27. 3e  pauulaa8 31,75 ◌
28. 4e  ainaazkv 30,0 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
29. 3e  Adrianm... 28,75 ◌ ◌
30. 3e  manullo... 28,0 ◌ ◌
31. 3e  JPG 27,75 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
32. 3e  albaem 27,5 ◌ ◌
33. 3e  andreagazu 27,25
34. 3e  carlosdo 26,0 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
35. 3e  Diflon 21,75 ◌
36. 4e  eulaliap 20,5 ◌ ◌
37. 4e  Miriam 18,5 ◌ ◌
38. 3e  Lorena 16,25 ◌ ◌ ◌
39. 4e  Miquel 15,75 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
40. 4e  marcmon 10,75 ◌
41. 2e  laiaruiz 10,0

Concurs obert
Usuaris que han superat 4t d'ESO, professors, etc.

# Usuari Punts Respostes
1. Universitat  pcartanya 87,75
2. Professor/a  PACOVES 66,25 ◌ ◌ ◌
3. 4e  JuanGui... 35,5 ◌ ◌ ◌ ◌
4. 3e  andreac... 34,5
5. 3e  pablopo... 33,0 ◌

Concurs virtual
Usuaris que han participat al Concurs virtual, un cop acabada la prova.

# Usuari Punts Respostes
1. Universitat  nestor 96,0
2. Curs indeterminat  melyazi... 77,25
3. Curs indeterminat  eli.arqu 58,75
4. Universitat  JoanFP 54,5
5. Universitat  hugo_pb 51,5
6. Universitat  rvivob 30,5 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌

Llegenda

  →   Resposta correcta

  →   Resposta correcta més ràpida de la taula (+1 punt)

  →   Resposta incorrecta