Problema del mes de setembre de 2017: 2n de Batxillerat

En una fila del Triangle de Tartaglia trobem els nombres: $$1,\ \ldots,\ 3003,\ 2002,\ 1001,\ \ldots,\ 1$$

Quin és el nombre més gran d'aquesta fila?

Recordem que el Triangle de Tartaglia és un triangle en què cada nombre és la suma dels dos superiors, i que comença així: $$\begin{array}{ccccccccc} &&&&1&&&&\\ &&&1&&1&&&\\ &&1&&2&&1&&\\ &1&&3&&3&&1&\\ \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \end{array}$$

Recorda que les files del Triangle de Tartaglia estan formades pels nombres combinatoris: $$\binom{n}{0},\ \binom{n}{1},\ \ldots,\ \binom{n}{n-1},\ \binom{n}{n}$$

Pots igualar el $2002$ a un nombre combinatori qualsevol: $$2002=\binom{n}{m}$$

Llavors, expressa el $3003$ i el $1001$ en funció de $n$ i $m$.

Pots esbrinar ara quant valen $n$ i $m$?

En primer lloc, recordem que les files del Triangle de Tartàglia són els nombres combinatoris: $$ \binom{n}{0}\quad \binom{n}{1}\quad \binom{n}{2} \quad\cdots\quad \quad \binom{n}{n-1}\quad \binom{n}{n} $$

Si en una fila apareixen els nombres $3003, 2002, 1001$, vol dir que per a certs $n,m$ es compleix que: $$ \binom{n}{m-1}=3003,\quad \binom{n}{m}=2002,\quad \binom{n}{m+1}=1001 $$

Fem un parèntesi i recordem quant val un nombre combinatori: $$ \binom{n}{m}=\frac{n!}{(n-m)!\ m!} $$

Calculem quocients dels tres nombres combinatoris que coneixem, per tal d'esbrinar els valors de $n$ i $m$: $$ \frac{3003}{2002}=\frac32=\frac{\binom{n}{m-1}}{\binom{n}{m}}=\frac{\frac{n!}{(n-m+1)!\ (m-1)!}}{\frac{n!}{(n-m)!\ m!}}=\frac{(n-m)!\ m!}{(n-m+1)!\ (m-1)!}=\frac{m}{n-m+1} $$

Amb la qual cosa ens queda l'equació: $$ 3n-3m+3=2m\quad\Rightarrow\quad 5m-3n=3 $$

Si fem el quocient dels dos últims nombres combinatoris, tenim: $$ \frac{2002}{1001}=2=\frac{\binom{n}{m}}{\binom{n}{m+1}}=\frac{\frac{n!}{(n-m)!\ m!}}{\frac{n!}{(n-m-1)!\ (m+1)!}}=\frac{(n-m-1)!\ (m+1)!}{(n-m)!\ m!}=\frac{m+1}{n-m} $$

I obtenim l'equació: $$ 2n-2m=m+1\quad\Rightarrow\quad 3m-2n=-1 $$

Ara resolem el sistema: $$ \begin{cases} 5m-3n=3\\ 3m-2n=-1 \end{cases} $$

Si multipliquem la primera equació per $2$ i la segona per $3$, queda: $$ \begin{cases} 10m-6n=6\\ 9m-6n=-3 \end{cases} $$

Ara li restem a la primera equació la segona i tenim: $$ m=9 $$

Substituint a la primera equació deduïm que: $$ 90-6n=6\quad\Rightarrow\quad 6n=84\quad\Rightarrow\quad n=14 $$

Ara sabem que es tracta de la fila $14$ del Triangle de Tartaglia, i el número més gran serà el central: $$ \binom{14}{7}=\frac{14!}{7!\ 7!}=3432 $$

Podem comprovar-ho construint el triangle fins la fila $14$:

Classificació 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat o un curs inferior.

Medalla Usuari Data
MartaMasramon 01/09/2017 10:44
Enrique 02/09/2017 11:22
arnaupadres 02/09/2017 16:16
JC 05/09/2017 11:32
ignasi 19/09/2017 13:58
Melany2276 19/09/2017 16:32
Yash-T 19/09/2017 18:16
Al.Chronos 19/09/2017 21:58
joanmatematic 20/09/2017 16:41
Clàudiaa 20/09/2017 18:41
Rafa 20/09/2017 19:04
Destructor 22/09/2017 20:03
Albert_Súria 23/09/2017 11:37
Mandarina 23/09/2017 20:21
auri213 24/09/2017 16:32
martijuanola 24/09/2017 17:30
Acma22 25/09/2017 0:06
Joan_Vila 25/09/2017 18:37
marcmon 25/09/2017 18:57
meritxell_vila 25/09/2017 19:44
Mijern 26/09/2017 10:18
AJM2000 27/09/2017 1:06
Vinyet 27/09/2017 16:39
xusi10 27/09/2017 16:47
PauCantos 28/09/2017 12:06
Diego123a73 29/09/2017 10:48
Nave2008 29/09/2017 15:43
vic300 29/09/2017 18:04

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n de Batxillerat.

Medalla Usuari Data
AndreuVallcaneras 01/09/2017 15:05
Sabo 05/09/2017 15:07
PACOVES 06/09/2017 22:38
Nasar 18/09/2017 21:19
Marta1876 20/09/2017 14:37
adrianjch 20/09/2017 18:59
Albert_Súria 23/09/2017 11:35
AlvarBorrell 25/09/2017 17:55
Xavi 25/09/2017 23:23
manel 26/09/2017 17:56
MarcJB 26/09/2017 18:27
DANIVILARDELL 27/09/2017 1:41
JMB 28/09/2017 7:25
Sergi_bm 28/09/2017 8:21