Mirem les primeres potències de $5$

$$ 5^1 = 5, \qquad 5^2 = 25, \qquad 5^3 = 125, \qquad 5^4 = 625, … $$ i veiem que a partir de la segona potència, tots semblen acabar en $25$. Efectivament això és cert, i anem a demostrar-ho més formalment per inducció.

Tenim el cas base $5^2 = 25$, que acaba en $25$. De fet, hem comprovat també que es compleix pels següents casos, però amb un sol cas base és suficient.

Ara, suposem que tenim $n > 2$ un enter, i que per tots els enters anteriors $k$ compresos entre $2$ i $n-1$ es compleix que $5^k$ acaba en $25$.

Aleshores, escrivim $5^n = 5 \cdot 5^{n-1}$, i podem usar la hipòtesi d’inducció: tenim que $5^{n-1} = 100 a + 25$ per a algun enter $a$, ja que les últimes dues xifres son $25$. Llavors

$$ 5^n = 5 \cdot (100 a + 25) = 100 \cdot (5 \cdot a) + 125 = 100 \cdot (5 \cdot a + 1) + 25 $$

Així que l’afirmació és certa també per a $n$. Això prova el pas inductiu, i tot plegat que demostrat, pel principi d’inducció matemàtica, que totes les potències de $5$ a partir de la segona acaben en $\boxed{25}$.

Vegem que podem trobar-hi $8$ triangles. Per a comptar-los, anem a distingir segons el nombre de regions.

Usant només una de les regions que hi ha a la figura, tenim $3$ possibilitats:

Usant excatament dues de les regions que hi ha a la figura, tenim $3$ possibilitats:

Usant exactament tres regions, podem provar que és impossible formar un triangle.

Finalment, usant totes les regions podem formar un únic triangle:

Per tant, tot plegat, la respota cercada és $3+4+1=\boxed{8}$.

Un nombre de dues xifres en ordre decreixent queda completament determinat per la tria de dues xifres diferents: la més gran ocuparà la posició de les desenes i la més petita, la de les unitats.

Partim del conjunt de les deu xifres possibles: $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, i triem dues xifres diferents d’aquí. El nombre de maneres de fer-ho és el nombre combinatori

$$ {10 \choose 2} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45. $$

En efecte, tenim $10$ tries per a la primera xifra, i només $9$ per a la segona, ja que no podem repetir. Ara bé, cometríem un error en comptar el nombre de tries com $10 \cdot 9$, ja que, per exemple, és el mateix triar primer el $8$ i després el $6$, que a l’inrevés. Com que l’ordre en què les hem triat és indiferent, hem de dividir el producte anterior per $2$, i d’aquí el resultat.

Aleshores, per a cada parella de xifres triada, existeix exactament un nombre de dues xifres amb les xifres diferents i en ordre decreixent, col·locant la xifra més gran a les desenes i la més petita a les unitats. A més, tots els nombres amb aquesta propietat s’obtenen d’aquesta manera.

Per tant, el nombre de nombres de dues xifres amb xifres diferents i en ordre decreixent és $ \boxed{45}$ .

El punt important d’aquest problema és que no requerim saber les notes individuals de cada alumne, sinó la seva suma.

Inicialment, amb els primers nou alumnes, la suma total de notes serà $9 \cdot 6 = 54$, per definició de la mitjana.

Aleshores, amb el desè alumne, la suma de notes serà $10 \cdot 6.3 = 63$. Per tant, de la diferència entre aquestes dues quantitats podem deduir que la nota del desè alumne és

$$ 63 - 54 = \boxed{9} $$

Primer de tot, notem que tenim $3$ opcions per triar quina serà la posició que contingui la xifra diferent de les altres.

Segon, per a la posició que hem triat que contindrà la xifra diferent, tenim $10$ opcions per triar quina xifra tindrà.

Per últim, ens queda triar quina serà la xifra repetida, que ja sabem que ocuparà les dues altres posicions del codi. Com que han de ser diferents a la primera xifra escollida, només ens queden $9$ opcions.

Tot plegat, multiplicant obtenim el nombre de maneres totals: $3 \cdot 10 \cdot 9 = \boxed{270} $.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.