Contrarellotge temàtica: els escacs (2n d'ESO)
Dilluns, 15 de maig de 2017 a les 19:00

Entra o registra't per participar al Concurs virtual per reviure aquesta contrarellotge. Se t'aniran plantejant els problemes com el dia del concurs, i a més competiràs contra els participants d'aquell dia: veuràs com van marcant les respostes tal com ho van fer el durant del concurs.

Podràs repetir tants cops com vulgues, i el teu resultat només es farà públic si ho tries així.


La contrarellotge s'ha acabat amb èxit!

Enhorabona al guanyador de la prova oficial: Gauss!


Atenció: el problema 15 ha quedat anul·lat degut a un error en les opcions (cap opció contenia la resposta correcta).


Esperem que el concurs també haja servit de pràctica als estudiants de 3r i 4t d'ESO: la setmana que ve serà la vostra prova oficial!

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Problema 1
3 punts   •   1 min 30 s

Quina peça dels escacs tindrà accés a més caselles si la situem a una de les caselles centrals del tauler?

A. Rei
B. Torre
C. Dama
D. Cavall
E. Alfil
En blanc
Mostra solució

La dama es pot moure a un total de $27$ caselles:

Aquestes caselles inclouen totes les caselles accessibles per l'alfil, la torre i el rei. D'altra banda, el cavall només pot accedir a $8$ caselles.

Problema 2
3 punts   •   1 min 30 s

Situem un cavall d'escacs a una cantonada d'un tauler d'escacs de $3\times3$. Quants salts de cavall necessitem per visitar les $8$ caselles restants?

A. $8$
B. $9$
C. $10$
D. $12$
E. No es pot
En blanc
Mostra solució

El cavall mai podrà visitar la casella del centre:

Si situem un cavall al centre, aquest no pots accedir a cap altra casella. Per tant, des de cap altra casella tampoc es pot accedir al centre.

Problema 3
3 punts   •   1 min 30 s

El major de dos nombres senars consecutius és el triple que el menor. Quina és la suma dels dos nombres?
A. $4$
B. $8$
C. $10$
D. $12$
E. $20$
En blanc
Mostra solució
Anomenem $x$ el nombre petit, llavors el gran serà $x+2$. Com és el triple que $x$, es compleix: $$3x=x+2\quad\Rightarrow\quad 2x=2\quad\Rightarrow\quad x=1$$ Per tant, els nombres són $1$ i $3$, i la suma és $4$.

Problema 4
3 punts   •   1 min 30 s

Quant val: $$(x-2)\cdot(x+2) + (2x)^2$$ Si $x=3$?
A. $25$
B. $27$
C. $30$
D. $40$
E. $41$
En blanc
Mostra solució
Substituïm: $$(3-2)\cdot(3+2) + (2\cdot3)^2=1\cdot5+6^2=5+36=41$$

Problema 5
3 punts   •   1 min 30 s

A cada casella d'un tauler d'escacs situem el número $1$ o el número $-1$, de manera que es compleixen aquestes condicions:

  • El producte dels números de cada fila és negatiu.
  • El producte dels números de cada columna és negatiu.

Quin és el mínim nombre de $-1$ que hem de col·locar?

A. $4$
B. $8$
C. $14$
D. $15$
E. $16$
En blanc
Mostra solució
Com a mínim, hi ha d'haver un $-1$ a cada fila i a cada columna, cosa que podem aconseguir posant un $-1$ a cada casella d'una diagonal. En total, en calen $8$.

Problema 6
4 punts   •   3 min

El quocient de dos nombres naturals és igual al seu producte. A més, la suma dels dos nombres és $13$. Quin és el major dels dos nombres?
A. $1$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
E. $14$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 7
4 punts   •   3 min

Definim l'operació $x\otimes y$ sobre nombres enters $x,y$ qualsevol com: $$x\otimes y=(x+y)(x-y)$$ Quant val $3\otimes (4\otimes 5)$?
A. $72$
B. $-72$
C. $15$
D. $-27$
E. $81$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 8
4 punts   •   3 min

Quin és el mínim nombre d'alfils que hem de col·locar a un tauler d'escacs de manera que:

  1. Cap parella d'alfils s'amenacen entre ells.
  2. Qualsevol casella del tauler és accessible per algun alfil.

Per exemple, amb $8$ torres ho podríem fer:

A. $10$
B. $7$
C. $9$
D. $8$
E. $6$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 9
4 punts   •   3 min

Els cercles petits de la figura tenen radi $1$. El cercle petit del centre és tangent als sis que té al voltant, els quals són tangents al cercle gran:

Quant mesura l'àrea blanca de la figura?

A. $\pi$
B. $\frac32\pi$
C. $2\pi$
D. $3\pi$
E. $4\pi$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 10
4 punts   •   3 min

Quant sumen tots els nombres enters entre l'$1$ i el $100$, ambdós inclosos?
A. $5050$
B. $10010$
C. $5000$
D. $4050$
E. $4090$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 11
5 punts   •   4 min 30 s

Tenim un tauler de $8\times8$ amb totes les caselles blanques, i una eina que ens permet canviar el color (de blanc a negre i de negre a blanc) de dues caselles contigües qualsevol. Per exemple:

Quantes vegades hem d'usar l'eina per convertir el tauler en un tauler d'escacs?

A. $16$
B. $24$
C. $32$
D. $64$
E. No es pot
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 12
5 punts   •   4 min 30 s

Quin percentatge dels números entre l'$1$ i el $10\,000$ (ambdós inclosos) són capicua?

Alguns exemples de números capicua són: $4,\; 454,\; 22,\; 1331$.

A. $1.96\%$
B. $1.98\%$
C. $2\%$
D. $2.98\%$
E. Cap de les anteriors
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 13
5 punts   •   4 min 30 s

Volem situar a una fila del tauler d'escacs un rei i dues torres amb les següents condicions:

  1. El rei està a una de les dues caselles centrals:
  2. Una torre està a l'esquerra del rei i l'altra a la dreta. Per exemple:

De quantes formes diferents podem col·locar les tres peces, complint les condicions anteriors?

A. $6$
B. $12$
C. $24$
D. $32$
E. $36$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 14
5 punts   •   4 min 30 s

Conta la llegenda, que el rei hindú Sheram, entusiasmat pel joc dels escacs que havia inventat el seu súbdit Seta, va decidir recompensar-lo concedint-li allò que demanés.

Seta va demanar el següent: per cadascuna de les 64 caselles del tauler d'escacs, rebria una certa quantitat d'arròs: cada dia el doble que el dia anterior.

Així, el primer dia va rebre $1$ gra d'arròs, el segon dia $2$ grans, el tercer dia $4$ grans, etc.

En total, quina quantitat li hauria de donar Sheram al seu súbdit per complir la promesa?

A. $64!$
B. $2^{63}$
C. $2^{64}$
D. $2^{63}-1$
E. $2^{64}-1$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 15
5 punts   •   4 min 30 s

Dos amics juguen a un joc amb les següents normes:

  1. Inicialment situen una torre a la cantonada de baix a l'esquerra d'un tauler d'escacs.
  2. En torns alternatius, cadascun d'ells mou la torre tantes caselles com vol, però només cap a dalt o cap a la dreta.
  3. Qui mou la torre a la casella de dalt de tot a la dreta, guanya la partida.

Aquest és un exemple de partida, en què el segon jugador (vermell) guanya:

Si tots dos juguen tan bé com poden, intentant guanyar o perdre el més tard possible, quants cops es mourà la torre?

Degut a que la solució no està entre les opcions disponibles, aquest problema ha quedat anul·lat.

A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
E. No es pot saber
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Concurs 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Punts Respostes
1. 1b  Gauss 80,75
2. 2e  Jofre_T... 74,25
3. 2e  Arnausoler 53,25 ◌ ◌
4. 2e  ireneruiz 50,5
5. 2e  Adriana... 39,75
6. 2e  aruiz2003E 30,75
7. 1e  Mariona 30,5 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌

Concurs obert
Usuaris que han superat 2n d'ESO, professors, etc.

# Usuari Punts Respostes
1. 4e  martiju... 77,0
2. 4e  arnaupa... 76,0
3. 3e  lauraco... 66,75
4. 3e  Ssr 64,75
5. 3e  469 64,0 ◌ ◌
6. 3e  asantosn 59,5
7. 3e  JPG 55,75
8. 3e  Diflon 53,75
9. 4e  mariona... 47,75
10. 3e  nerea 46,75
10. 3e  pauulaa8 46,75
12. 3e  Cristina 45,5
13. Professor/a  PACOVES 44,75 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
14. 3e  Jarolin 42,5
15. 3e  Luis 41,75
16. 4e  Tumi_1501 39,75
17. 3e  carlosdo 35,0
18. 3e  Paula 33,25
19. 3e  S.g.g 25,75 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
20. 4e  marcmon 22,0 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌

Concurs virtual
Usuaris que han participat al Concurs virtual, un cop acabada la prova.

# Usuari Punts Respostes
1. 1b  Diego12... 92,0
2. 3e  jreyes 83,25
3. 1e  joanbr 80,75
4. 2e  J.P.B 80,5
5. 1e  laiagc 77,25
6. 3e  Thaïs 74,75
7. 2e  polgm 67,5
8. 2e  AlvaroS... 63,0
9. 3e  saruca 59,75 ◌ ◌
10. 4e  gmor 58,5
11. 2e  ikerzr 54,5
12. 1b  ruben_42i 52,5
13. 3e  anubis 50,5
13. 2e  narapeula 50,5
15. 3e  FerranCBU 35,0
16. 3e  enriccat 34,5
17. 2e  lucia_t... 26,75 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌

Llegenda

  →   Resposta correcta

  →   Resposta correcta més ràpida de la taula (+1 punt)

  →   Resposta incorrecta