Contrarellotge temàtica: el Sol (2n de Batxillerat)
Divendres, 10 de març de 2017 a les 19:00

Entra o registra't per participar al Concurs virtual per reviure aquesta contrarellotge. Se t'aniran plantejant els problemes com el dia del concurs, i a més competiràs contra els participants d'aquell dia: veuràs com van marcant les respostes tal com ho van fer el durant del concurs.

Podràs repetir tants cops com vulgues, i el teu resultat només es farà públic si ho tries així.


Enhorabona a tots els participants!

I especialment als guanyadors de la prova oficial: jolivetti, pcartanya i Euclidianna.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Problema 1
3 punts   •   1 min 30 s

$5$ pintors triguen $5$ dies a pintar $5$ habitacions.

Quants dies triguen $10$ pintors a pintar $10$ habitacions?

A. 1
B. 5
C. 10
D. 15
E. 20
En blanc
Mostra solució
Cadascun dels $5$ pintors pinta $1$ habitació en $5$ dies. Al mateix ritme, $10$ pintors trigaran $5$ dies a pintar una habitació cadascú.

Problema 2
3 punts   •   1 min 30 s

Avui estem a $10/3/2017$. Aquesta data conté els dígits $0$ i $1$ dos cops cadascun.

Quants dies falten per al proper dia en què la data contindrà un mateix dígit repetit com a mínim $4$ cops? (Si fóra demà, faltaria $1$ dia).

A. $214$
B. $215$
C. $216$
D. $246$
E. $247$
En blanc
Mostra solució

Si volem el dígit repetit $4$ cops l'any $2017$, aquest dígit només podrà ser l'$1$ o el $2$.

En el cas del $2$, només hi ha una data que ho compleix: $22/12/2017$.

Per repetir $4$ cops l'$1$, necessitem tres uns en el dia i el mes. Hi ha diverses formes:

  • $11/10$
  • $1/11,\; 10/11,\; 11/11,\; 12/11,\;\ldots,\; 21/11$
  • $11/12$
La menor d'aquestes dates és $11/10/2017$, i falten: $$21 + 30 + 31 + 30 + 31 + $$ $$+ 31 + 30 + 11 = 215 \text{ dies}$$

Problema 3
3 punts   •   1 min 30 s

Sabem que hi ha un sol amagat en un dels tres cofres:

Cada cofre té una nota amb una frase escrita, i sabem que només una d'elles diu la veritat. Diuen:

  1. El sol no està aquí.
  2. El sol no està aquí.
  3. El sol està al cofre $2$.

A quin cofre està el sol?

A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. $1$ o $2$
E. No pot ser
En blanc
Mostra solució

Esbrinem primer quina frase és la correcta.

Si la $1$ és correcta, llavors les altres dues són falses. Però si la $2$ és falsa, el sol està al cofre $2$ i llavors la frase $3$ hauria de ser certa. No pot ser.

Si la $2$ és correcta, llavors la $1$ és falsa i el sol està al cofre $1$. La $3$ també ha de ser falsa, i efectivament ho és. Per tant, el sol ha d'estar al cofre $1$.

Finalment, vegem que la $3$ no pot ser certa, perquè llavors la $1$ seria certa també.

Problema 4
3 punts   •   1 min 30 s

D'entre els quatre asos de la baralla anglesa (dos negres i dos vermells), triem dues cartes a l'atzar. Quina és la probabilitat que triem dues cartes del mateix color?
A. $\frac14$
B. $\frac13$
C. $\frac12$
D. $\frac34$
E. $\frac23$
En blanc
Mostra solució
Si anomenem $V_1,V_2$ els asos vermells i $N_1,N_2$ els asos negres, podem triar dues cartes de $6$ formes: $$V_1V_2,\quad V_1N_1,\quad V_1N_2,\quad V_2N_1,\quad V_2N_2,\quad N_1N_2$$ I només en dos casos (el primer i l'últim) tenim les dues cartes del mateix color. Per tant, la probabilitat és: $$P=\frac26=\frac13$$

Problema 5
3 punts   •   1 min 30 s

Partint d'aquesta peça del Tetris:

Quantes figures diferents podem obtenir afegint-li un quadrat? El quadrat nou ha de tenir un costat coincident amb un dels quadrats de la figura.

A. $6$
B. $7$
C. $8$
D. $9$
E. $10$
En blanc
Mostra solució

Podem afegir el quadrat a qualsevol de les $9$ posicions possibles i totes les figures resultants seran diferents:

Problema 6
4 punts   •   3 min

De quantes formes diferents podem triar els vèrtexs d'un polígon regular de $16$ cares (hexadecàgon) de manera que formen els vèrtexs d'un triangle rectangle?
A. $8$
B. $24$
C. $56$
D. $112$
E. $124$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 7
4 punts   •   3 min

Donada una esfera de radi $3$ centrada a l'origen dels eixos de coordenades, quants punts de la superfície de l'esfera tenen coordenades enteres?
A. $24$
B. $12$
C. $6$
D. $3$
E. $30$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 8
4 punts   •   3 min

Com alguns ja sabreu, el Sol és una estrella activa que sovint produeix erupcions solars $(E)$ i explosions de gas $(G)$, les quals els astrònoms sempre vigilen perquè poden danyar els satèl·lits i els astronautes.

Certa setmana hi han hagut dues erupcions $(E)$ en dies diferents. D'altra banda, i de manera independent, hi han hagut dues explosions de gas $(G)$ en dies consecutius.

Quina és la probabilitat que no hagen coincidit cap explosió i erupció en el mateix dia?

A. $\frac{10}{21}$
B. $\frac{11}{21}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{4}$
E. $\frac{2}{5}$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 9
4 punts   •   3 min

La suma de $5$ enters consecutius és igual a la suma dels següents $3$ enters consecutius. Quin és el major dels $8$ números?
A. $4$
B. $8$
C. $9$
D. $11$
E. Un altre
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 10
4 punts   •   3 min

Siguin dos semicercles, inscrit un dintre de l'altre, amb les bases coincidents i tangents per l'esquerra. Dibuixem una corda paral·lela a les bases dels semicercles, i tangent al semicercle petit, i observem que mesura $4$. Tal com es veu a la figura: Quant mesura l'àrea ombrejada?

A. $\pi$
B. $\frac32\pi$
C. $2\pi$
D. $3\pi$
E. Falta informació
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 11
5 punts   •   4 min 30 s

Si $f$ és un polinomi tal que $f(x^2+1)=x^4+4x^2$, determina $f(x^2-1)$.
A. $x^4-4x^2$
B. $x^4$
C. $x^4+4x^2-4$
D. $x^4-4$
E. Una altra
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 12
5 punts   •   4 min 30 s

En una festa de l'amic invisible, $4$ amics es donaran regals l'un a l'altre. De quantes maneres diferents es pot fer el repartiment? Evidentment, ningú pot quedar-se el seu propi regal!
A. $4$
B. $6$
C. $9$
D. $12$
E. $24$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 13
5 punts   •   4 min 30 s

Considerem els punts mitjos de tres arestes d'un cub, tal com veiem a la figura:

Quant mesura l'angle que formen?

A. $90^\circ$
B. $120^\circ$
C. $115^\circ$
D. $135^\circ$
E. $150^\circ$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 14
5 punts   •   4 min 30 s

Considerem un satèl·lit amb forma de prisma rectangular amb les bases formades per octàgons regulars. Si té una altura de $2\text{ m}$ i el costat dels octàgons és d'$1\text{ m}$, quant mesura l'àrea de la superfície del prisma?
A. $20+2\sqrt2\text{ m}^2$
B. $20+4\sqrt2\text{ m}^2$
C. $24\text{ m}^2$
D. $20+8\sqrt2\text{ m}^2$
E. $24-2\sqrt2\text{ m}^2$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Problema 15
5 punts   •   4 min 30 s

Considerem el quadrat $ABCD$ de costat unitat, on anomenem $M$ el punt mig del costat $BC$ i $N$ el punt mig del segment $BM$. Unim $M$ i $N$ amb el vèrtex $A$, i dibuixem la diagonal $BD$:

Quant mesura l'àrea ombrejada?

A. $\frac15$
B. $\frac16$
C. $\frac1{12}$
D. $\frac1{15}$
E. $\frac1{16}$
En blanc
Mostra solució

Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.

Concurs 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat o un curs inferior.

# Usuari Punts Respostes
1. 1b  jolivetti 72,75
2. 1b  pcartanya 70,25
3. 1b  Euclidi... 52,75
4. 1b  VictorE... 37,0 ◌ ◌
5. 1b  Gauss 36,0 ◌ ◌ ◌ ◌
6. 1b  Euler 33,75 ◌ ◌
7. 1b  doncipo... 29,5 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
8. 1b  Innigo 28,25 ◌ ◌
9. 1b  Alpha 27,25
10. 1b  Deixebl... 26,5 ◌ ◌ ◌ ◌
11. 1b  Lluis 26,0
12. 1b  Anaxima... 21,25 ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌
13. Curs indeterminat  Chemapr... 17,5 ◌ ◌ ◌ ◌
14. 2e  laiaruiz 16,0 ◌ ◌

Concurs obert
Usuaris que han superat 2n de Batxillerat, professors, etc.

# Usuari Punts Respostes

Concurs virtual
Usuaris que han participat al Concurs virtual, un cop acabada la prova.

# Usuari Punts Respostes
1. 2e  polrt 15,25 ◌ ◌ ◌ ◌

Llegenda

  →   Resposta correcta

  →   Resposta correcta més ràpida de la taula (+1 punt)

  →   Resposta incorrecta