Entra o registra't per participar al Concurs virtual per reviure aquesta contrarellotge. Se t'aniran plantejant els problemes com el dia del concurs, i a més competiràs contra els participants d'aquell dia: veuràs com van marcant les respostes tal com ho van fer el durant del concurs.
Podràs repetir tants cops com vulgues, i el teu resultat només es farà públic si ho tries així.
Problema 1
3 punts
1 min
3 punts
•
1 min
En una cursa, avances el corredor que va en tercera posició. En quina posició quedes immediatament després d'avançar-lo?
Quan avances el corredor que va tercer, ocupes el seu lloc. Encara tens el primer i el segon corredor al davant. Per tant, quedes en $\boxed{\text{tercera posició}}$ (no en segona).
Problema 2
3 punts
1 min
3 punts
•
1 min
Quantes persones cal reunir, com a mínim, per estar segurs que dues d'elles han nascut el mateix mes de l'any?
Nota: No cal que hagin nascut el mateix dia!
Hi ha $12$ mesos diferents. Amb $12$ persones encara podria passar que cadascuna hagués nascut en un mes diferent.
Però amb $13$ persones necessàriament n'hi haurà dues que hagin nascut el mateix mes, pel principi del colomar. Per tant, la resposta és $\boxed{13}$.
Problema 3
3 punts
1 min
3 punts
•
1 min
La suma de cinc nombres enters consecutius és $105$. Quin és el nombre del mig?
En cinc nombres consecutius, els dos primers i els dos últims es compensen al voltant del nombre central. Així, la mitjana dels cinc nombres és precisament el nombre del mig.
Com la suma és $105$, el nombre central és
$$ \frac{105}{5}=\boxed{21}. $$Podem veure-ho amb més detall si anomenem $x$ al nombre central. Aleshores, els $5$ nombres consecutius són
$$ x-2, \quad x-1, \quad x,\quad x+1,\quad x+2 $$De manera que la seva suma és
$$ (x-2) + (x-1) + x + (x+1) + (x+2) = 5x + (2-2) + (1-1) = 5x, $$I concloem igual que abans.
Problema 4
3 punts
1 min
3 punts
•
1 min
En un calendari habitual, triem qualsevol bloc de quatre dies d'un mateix mes que formin un quadrat de $2\times2$ caselles. Sumem els dos dies d'una diagonal i restem la suma dels dos dies de l'altra diagonal.
Quant val sempre la diferència?
Si el dia de la cantonada superior esquerra és $n$, els quatre dies del bloc són
$$ \begin{matrix} n & n+1\\ n+7 & n+8 \end{matrix} $$Les dues diagonals tenen la mateixa suma, ja que
$$ n+(n+8)=(n+1)+(n+7)=2n+8. $$Per tant, la diferència és sempre $\boxed{0}$.
Problema 5
3 punts
1 min
3 punts
•
1 min
Escrivim en algun ordre les xifres $1,2,3,4$ i $5$ per formar un nombre de cinc xifres. Quina de les afirmacions següents és sempre certa, independentment del nombre que en resulti?
- A: El nombre sempre serà múltiple de $2$.
- B: El nombre sempre serà múltiple de $3$.
- C: El nombre sempre serà múltiple de $5$.
- D: El nombre sempre serà múltiple de $9$.
- E: El nombre sempre serà múltiple de $11$.
Vegem que el nombre sempre serà múltiple de $3$.
Notem que la suma de les xifres, sigui quin sigui el nombre escirt, serà
$$ 1+2+3+4+5=15. $$Com $15$ és múltiple de $3$ però no de $9$, aleshores, qualsevol nombre format amb aquestes cinc xifres és múltiple de $3$ però no de $9$, pels criteris de divisibilitat d'aquests números, independentment de l'ordre.
En canvi, les altres propietats depenen de quina xifra queda al final o de l'ordre de les xifres. Per exemple,
- $12345$ no és múltiple de $2$.
- $12354$ no és múltiple de $5$.
- $12345 = 1371 \cdot 9 + 6$ no és múltiple de $9$.
- $12345 = 1122 \cdot 11 + 3$ no és múltiple d'$11$.
Tot plegat, la resposta és que només podem garantir que el nombre sigui sempre múltiple de $\boxed{3}$.
Problema 6
4 punts
2 min
4 punts
•
2 min
Deu estudiants, tots d'altures diferents, estan asseguts al voltant d'una taula rodona. Cadascun afirma: «Soc més alt que la persona que tinc a la meva esquerra».
Quin és el nombre màxim d'estudiants que poden estar dient la veritat?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 7
4 punts
2 min
4 punts
•
2 min
Dos nombres reals $x$ i $y$ compleixen
$$ x+y=12,\qquad xy=20. $$Quant val $(x-y)^2$?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 8
4 punts
2 min
4 punts
•
2 min
Uns amics estan sopant pizza, i ara que l'han treta del forn la volen tallar. Tanmateix, s'adonen que el seu tallador està a punt de trencar-se, i que només els deixarà fer exactament tres talls rectes (que travessin la pizza de banda a banda).
Quin és el nombre màxim de trossos de pizza que podem obtenir?
Nota: Els trossos poden ser desiguals, només ens interessa la quanitat.
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 9
4 punts
2 min
4 punts
•
2 min
L'Àlex té una bossa amb $8$ caramels diferents. El seu amic Bru li demana que li'n regali una quantitat senar.
De quantes maneres pot triar l'Àlex quins caramels donar-li?
Nota: Per exemple, l'Àlex li podria regalar només el primer caramel, només l'últim, els tres últims.... En particular, cal tenir en compte que els caramels són diferents entre ells.
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 10
4 punts
2 min
4 punts
•
2 min
En un hexàgon regular de costat $2$, unim tres vèrtexs alterns. Quina és l'àrea del triangle que obtenim?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 11
5 punts
3 min
5 punts
•
3 min
Tenim un tauler de $4\times4$ caselles al qual hem tret dues cantonades oposades. Volem cobrir tantes caselles com puguem amb dominós d'$1\times2$ caselles, sense encavalcar-los ni sortir del tauler.
Quin és el nombre màxim de dominós que hi podem col·locar?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 12
5 punts
3 min
5 punts
•
3 min
El polinomi
$$ x^2-mx+16 $$té dues arrels positives, enteres i diferents. Quin és el menor valor possible de $m$?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 13
5 punts
3 min
5 punts
•
3 min
Tenim dos daus normals. Llancem primer un dau, i després el segon.
Quina és la probabilitat que el nombre obtingut al primer dau sigui estrictament més gran que el del segon?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 14
5 punts
3 min
5 punts
•
3 min
Sigui
$$ f(x)=\frac{1}{1-x}. $$Denotem per $f^n$ la composició de $f$ amb ella mateixa $n$ vegades. Quant val $f^{2026}(2)$?
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Problema 15
5 punts
3 min
5 punts
•
3 min
Quantes cadenes de longitud $10$, formades només per zeros i uns, no contenen mai dos uns consecutius?
Per exemple, $1010101010$ és una cadena vàlida, però $1100000000$, no.
Entra o registra't per consultar les solucions dels problemes del 2n i 3r bloc. Tots els problemes de la Contrarellotge matemàtica inclouen una explicació detallada de la seua resolució.
Concurs 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat o un curs inferior.
| # | # | Usuari | Punts | Respostes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | ykq_x | ykq_x | 91 | |||||||||||||||
| 2. | Milena_Ar… | Milena_Arsenyan | 89 | |||||||||||||||
| 2. | OG-QCT | OG-QCT | 89 | |||||||||||||||
| 2. | OG_JAP | OG_JAP | 89 | |||||||||||||||
| 2. | OGNHGPKMN | OGNHGPKMN | 89 | |||||||||||||||
| 2. | OGWHH | OGWHH | 89 | |||||||||||||||
| 7. | OG_PLG | OG_PLG | 87 | |||||||||||||||
| 8. | Gabriel28… | Gabriel2873 | 84 | |||||||||||||||
| 9. | paupi3 | paupi3 | 83,75 | |||||||||||||||
| 10. | OGJCT | OGJCT | 81,75 | |||||||||||||||
| 11. | Cristian_… | Cristian_García | 80,75 | |||||||||||||||
| 12. | PauMR | PauMR | 77 | ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 13. | Bielo | Bielo | 76,75 | |||||||||||||||
| 14. | Antoni_Ar… | Antoni_Arbonés | 76,50 | |||||||||||||||
| 15. | Austro | Austro | 74,50 | |||||||||||||||
| 15. | Xavier_Ma… | Xavier_Martí_Rosell | 74,50 | |||||||||||||||
| 17. | RogerC | RogerC | 73,75 | |||||||||||||||
| 18. | WillEnd | WillEnd | 73 | ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 19. | BartoloCa… | BartoloCarabolo | 64,50 | |||||||||||||||
| 20. | berni | berni | 61,75 | ◌ ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 20. | M461 | M461 | 61,75 | ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 22. | Leyre | Leyre | 60,25 | ◌ | ||||||||||||||
| 23. | isaac | isaac | 58,25 | ◌ | ||||||||||||||
| 24. | Jisoo | Jisoo | 57,25 | |||||||||||||||
| 24. | marta123 | marta123 | 57,25 | ◌ ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 26. | Allens_Fe… | Allens_Fedora | 53 | |||||||||||||||
| 26. | Pir2 | Pir2 | 53 | ◌ | ||||||||||||||
| 28. | 404π | 404π | 52,25 | ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 29. | Sergi | Sergi | 51 | |||||||||||||||
| 30. | qro73 | qro73 | 48,75 | ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 31. | Elies | Elies | 45,75 | ◌ | ||||||||||||||
| 32. | SonGoku | SonGoku | 41,75 | ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 33. | Matromb | Matromb | 39,75 | ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ | ||||||||||||||
| 34. | MarMedite… | MarMediterrani | 23,75 | ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ ◌ |
Concurs obert
Usuaris que han superat 2n de Batxillerat, professors, etc.
| # | # | Usuari | Punts | Respostes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | Alexia2005 | Alexia2005 | 87,75 | ||||
| 2. | pooh | pooh | 83 | ◌ | |||
| 3. | mrlukeh2o | mrlukeh2o | 77,75 | ||||
| 4. | Cnaka | Cnaka | 77 | ||||
| 5. | Ferri | Ferri | 65,75 | ◌ ◌ | |||
| 6. | Juan.Manu… | Juan.Manuel.Cruz.Morales | 51,25 | ◌ ◌ ◌ |
Concurs virtual
Usuaris que han participat al Concurs virtual, un cop acabada la prova.
| # | # | Usuari | Punts | Respostes | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1. | DAVIDTRIV… | DAVIDTRIVIÑO.IESCAPDEPERA | 99 | |||
| 2. | Unai.iesc… | Unai.iescapdepera | 98 | |||
| 3. | antonio.i… | antonio.iescapdepera | 91 | ◌ | ||
| 4. | jcastros.… | jcastros.iescapdepera | 84 | |||
| 5. | zoecuart@… | zoecuart@iescapdepera | 72,75 | |||
| 6. | juliaruiz… | juliaruiz@iescapdepera | 70,75 | ◌ ◌ | ||
| 7. | Alba_R.F_… | Alba_R.F_@iescapdepera | 65 | |||
| 8. | geometrik… | geometrikos | 64,50 | |||
| 9. | elenarais… | elenaraisa@iescapdepera.com | 57,75 | ◌ | ||
| 10. | laia@iesc… | laia@iescapdepera | 52,25 | ◌ |
Llegenda
→ Resposta correcta
→ Resposta correcta més ràpida de la taula (+1 punt)
→ Resposta incorrecta