Problema del mes de desembre de 2017: 2n d'ESO

Acomiadem l'any $2017$ amb un petit problema sobre el aquest nombre:

Quina és la xifra de les unitats del nombre $2017^{2017}$?

En primer lloc, podem simplificar observant que la xifra de les unitats de $2017^{2017}$ serà la mateixa que la de $7^{2017}$.

Quina és la xifra de les unitats de $7^1,\ 7^2,\ 7^3,\ 7^4,\ 7^5,\ldots$?

Fixem-nos que les xifres de les unitats de $7^1, 7^2, 7^3,\ldots\ $ segueixen la successió: $7,9,3,1,7,9,3,1\ldots$

Les xifres de les unitats de les potències de $2017$ repeteixen cíclicament la successió $7,9,3,1$.

Esbrinarem quin és el terme $2017$ d'aquesta successió calculant el residu de la divisió entre $4$: $$2017 = 504\cdot 4 + 1$$

El residu és $1$, i per tant es tracta del primer element del cicle. Així que la xifra de les unitats de $2017^{2017}$ és $7$.

Finalment podem fer una comprovació. Com hem comentat a la Pista 1, la xifra de les unitats de $2017^{2017}$ és igual a la xifra de les unitats de $7^{2017}$, i aquest número és: 

7^2017 =
36538162988809338550343945038307068833868519044439264687901442518023
60057050515689044632152627858618984282434755363984693054695823378212
24922503578707793841696086550680085660956813671478528045117039740725
68247239127257019824551916163849049659478626499721959109687373486681
22155001353916320923080586715638774610143370365873441574944998411614
38190035080141872282901909946272628909034009563908386005559363555087
64307904986707226818046458594867335440982401665186161046002400445572
58887111819494154228497768421920762722671250466002415845318194508785
93473311841318208071711769608216013759626873048925656673319300859365
60061799677748072520503042620812849100184741939602054913535323018788
21119353948148846918196272212794447230310026309734188574522068941892
60507133274648985071566478432338174476593166051401149761809730740731
31039857348016270805407981641794699669350551112317492953740590221753
96746026222711809980226633203886306209767955406552050448413308109105
36361705691020096711992731574837950302197524913067048200218657431175
48113529166446981335241665263008583189500681133456708653629521445292
98625701759598133647527207686250132624178992612016994324726046804290
05884468527399971810989166133462425097192399904032416541586413894864
26686411715752761630987597657179820198851787708424642311227001646346
93151700973519272224216048501688795109111182931733358065010702515071
89347959348526536004328318905535644952985584891984544130338237833099
74135524817184903461212045554946676990817736743806827574171473630089
20645854802642691428246174295188114697410171775352648103973025203647
99371752842760517836243462000057168515676961625983410581264513384075
93793878179675597735653329274805743037697844353387016438378234050823
87207

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
p  jaquerol 01/12/2017
1e  elo365 01/12/2017
2e  pauestarli 01/12/2017
2e  Alexl 03/12/2017
2e  NúriaG 03/12/2017
2e  AnaMartínez 04/12/2017
2e  r4m_0n 04/12/2017
2e  paularuiz 04/12/2017
2e  SergiPuigd... 04/12/2017
2e  abrilboix 04/12/2017
2e  kiraguillamon 04/12/2017
2e  abrilgallart 04/12/2017
1e  Gema 04/12/2017
1e  loliver 05/12/2017
2e  Múnia 05/12/2017
2e  visca 06/12/2017
2e  Pelli 06/12/2017
2e  Al3x15 07/12/2017
2e  Sau 10/12/2017
2e  EvaMorant 11/12/2017
2e  NereaLlera 12/12/2017
2e  lauramas6 12/12/2017
2e  Núria_04 16/12/2017
2e  AlexNavarrov 16/12/2017
2e  saruca 17/12/2017
1e  victoras 17/12/2017
2e  Pau07 19/12/2017
2e  Pauet37 22/12/2017
2e  Jordi3456 23/12/2017
2e  LeireSoler 26/12/2017
1e  polbm 30/12/2017
1e  txellcj 30/12/2017
2e  Nareta347 30/12/2017
2e  maria.cotaina 31/12/2017
2e  ericlobato 04/12/2017
2e  MuFFiN 04/12/2017
2e  enavas08 05/12/2017
2e  nuriia_2eso 13/12/2017
2e  anubis 14/12/2017
1e  ikerzr 29/12/2017
2e  monclusm04 31/12/2017
2e  MehakGill 04/12/2017
1e  asaperas 09/12/2017
1e  polgm 16/12/2017
2e  Gabisg04 28/12/2017
1e  polrt 02/12/2017
2e  Damasbadosa 04/12/2017
2e  Nereea 13/12/2017
1e  CarlosBarr... 22/12/2017

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  Sergi_bm 01/12/2017
Universitat  Ponta 01/12/2017
Universitat  Segarra 01/12/2017
3e  carsan 01/12/2017
Professor/a  Marta1876 01/12/2017
4e  PauCantos 01/12/2017
4e  capl99 01/12/2017
Professor/a  Arantxa.Vidal 01/12/2017
1b  arnaupadres 01/12/2017
3e  HECTORGV 01/12/2017
Professor/a  Xavi 01/12/2017
Professor/a  Frederic 01/12/2017
1b  izanbf 01/12/2017
Professor/a  tmillan 03/12/2017
1b  martijuanola 03/12/2017
Curs indeterminat  Nasar 03/12/2017
Professor/a  bach22 03/12/2017
Professor/a  ras 04/12/2017
Curs indeterminat  BrunaGranados 04/12/2017
Curs indeterminat  AnnaGabino 04/12/2017
Professor/a  AlvarBorrell 05/12/2017
4e  Diego123a73 08/12/2017
4e  Nave2008 12/12/2017
Curs indeterminat  sfont 12/12/2017
Curs indeterminat  Francesca 12/12/2017
3e  Pedro1 13/12/2017
3e  Gerard.gre... 13/12/2017
Universitat  sergioRG 14/12/2017
Professor/a  lluis.cros 16/12/2017
4e  xusi10 18/12/2017
Curs indeterminat  AndreuBonet 31/12/2017
2e  Dj+figatell 31/12/2017
3e  Superep 01/12/2017
Curs indeterminat  Oriol_M 01/12/2017
1b  enriquervwtf 02/12/2017
2e  LaiaXin 02/12/2017
Professor/a  rafel 03/12/2017
3e  Mireia 03/12/2017
Universitat  Euler 03/12/2017
Curs indeterminat  querten 04/12/2017
1b  EnricGS 05/12/2017
Curs indeterminat  Laura 07/12/2017
Professor/a  Guida 12/12/2017
Curs indeterminat  Steffo 01/12/2017
4e  AdriàCh 07/12/2017
3e  Pablo14 01/12/2017
2e  Marc101011... 03/12/2017