Problema del mes d'octubre de 2017: 2n d'ESO

Uns estudiants de 2n d'ESO elaboren un pla per furtar-li els diners al seu professor de matemàtiques. Li fan la següent proposta:

—Què et sembla si et donem el doble dels diners que tingues, i després tu ens dónes $54$ euros?

El professor accepta, i fan l'intercanvi.

—Vols que repetim el mateix tracte? —proposen els estudiants.

El professor accedeix de nou. Veient que el negoci funciona, els estudiants insisteixen.

—Fem el tracte un tercer cop?

—D'acord —respon el professor.

Els estudiants estan contents amb el botí, però llavors el professor contraataca amb un problema per tota la classe:

—M'han deixat amb exactament zero euros, podríeu dir-me quants diners tenia inicialment? I quan ho hàgeu resolt, em torneu els meus diners!

Atenció: la solució és un nombre enter. Hem anul·lat tots els enviaments de nombres amb decimals.

Si el professor té $x$ euros inicialment, els estudiants li'n donaran $2x$, i després li'n trauran $54$. Després del primer tracte, es queda amb: $$x \quad\rightarrow\quad x+2x-54=3x-54$$
Potser t'és útil pensar el problema des del final cap al principi. Si s'ha quedat amb $0$ euros, quants en tindria abans? I abans?...
Amb cada intercanvi, el professor passa de tindre $x$ euros a tindre'n $y$: $$x\quad\rightarrow\quad y=3x-54$$ Podem fer també el pas contrari. Si al final s'ha quedat amb $y$ euros, inicialment en tindria: $$x=\frac{y+54}{3}$$

Anomenem $y_0$ els diners que tenia inicialment, i $y_1, y_2,y_3$ els que té després de cada tracte.

Al final s'ha quedat amb $y_3=0$ euros, per tant, just abans en tenia: $$y_2=\frac{0+54}{3} = 18$$ Just abans, en tindria: $$y_1=\frac{18 + 54}{3} = \frac{72}3 = 24$$ Inicialment, en tindria: $$y_0=\frac{24 + 54}{3} = \frac{78}3 = 26$$ Per tant, el professor inicialment tenia $26$ euros.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
p  jaquerol 01/10/2017
2e  Alexl 02/10/2017
2e  Nareta347 03/10/2017
2e  AlexNavarrov 03/10/2017
2e  PolPiferrer 06/10/2017
2e  Daniel_García 06/10/2017
2e  Jordi3456 07/10/2017
1e  asaperas 08/10/2017
2e  enriccat 08/10/2017
2e  MuFFiN 09/10/2017
2e  noaporta22 09/10/2017
2e  gridsc 09/10/2017
2e  visca 10/10/2017
2e  Goodjoan0307 14/10/2017
2e  Gabisg04 15/10/2017
2e  mmontull 19/10/2017
2e  Pelli 28/10/2017
1e  Gema 29/10/2017
1e  CarlosBarr... 30/10/2017
1e  J.P.B 30/10/2017
1e  janpaga86 30/10/2017
1e  Khadija 30/10/2017
2e  Mgubianas 30/10/2017
2e  sandra.pel... 30/10/2017
2e  Penyeta 31/10/2017
2e  lauramas6 03/10/2017
2e  anubis 08/10/2017
2e  Jamer7 09/10/2017
2e  DavidVázquez 15/10/2017
2e  Al3x15 18/10/2017
2e  XaviVidal 29/10/2017
1e  hagoulmine 30/10/2017
2e  Pau54 12/10/2017
2e  saulbraza 30/10/2017
2e  Aleix 01/10/2017
1e  polgm 07/10/2017
1e  polrt 10/10/2017
2e  Manel2017 08/10/2017
2e  Angela04 12/10/2017
2e  cristinama... 16/10/2017
1e  maxep 18/10/2017
2e  EvaMorant 25/10/2017
2e  AndreaMonzo 25/10/2017
1e  juju2005 27/10/2017
2e  juan7 30/10/2017
2e  hugomargalef 30/10/2017
2e  SheilaJover 30/10/2017
2e  MaxMalysh 31/10/2017

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
4e  PauCantos 01/10/2017
Professor/a  Sergi_bm 02/10/2017
Professor/a  Marta1876 02/10/2017
2e  Pauet37 02/10/2017
4e  Diego123a73 03/10/2017
1b  arnaupadres 03/10/2017
Professor/a  Xavi 04/10/2017
4e  xusi10 04/10/2017
Universitat  adrianjch 04/10/2017
Professor/a  tmillan 05/10/2017
1b  izanbf 05/10/2017
Professor/a  ras 07/10/2017
2e  Kolmogorov 07/10/2017
Curs indeterminat  Nasar 07/10/2017
Universitat  auri213 07/10/2017
Professor/a  montserrat... 08/10/2017
Professor/a  Frederic 09/10/2017
Universitat  Euler 10/10/2017
Professor/a  Mcorb 11/10/2017
1b  enriquervwtf 11/10/2017
3e  carsan 18/10/2017
3e  ROSASOLER 18/10/2017
Professor/a  jordimo 22/10/2017
Universitat  Al.Chronos 22/10/2017
4e  Mijern 24/10/2017
Professor/a  rafel 25/10/2017
3e  AnaPalomares 29/10/2017
2e  Dj+figatell 29/10/2017
3e  JosepLlorca 29/10/2017
3e  Pedro1 30/10/2017
3e  Daniel1711 30/10/2017
3e  mireiamorant 30/10/2017
3e  CarlesFaus 30/10/2017
3e  Gerard.gre... 30/10/2017
Curs indeterminat  Narjis 30/10/2017
1b  martijuanola 30/10/2017
3e  MireiaJuan 30/10/2017
Universitat  Ponta 31/10/2017
Universitat  vic300 14/10/2017
1b  Clàudiaa 04/10/2017
1b  EnricGS 04/10/2017
Universitat  Mounircheriha 09/10/2017
1b  marcmon 14/10/2017
Professor/a  bach22 14/10/2017
3e  Chuki 30/10/2017
3e  Nereaferrer 30/10/2017
Curs indeterminat  Alex 03/10/2017
Professor/a  Arantxa.Vidal 29/10/2017
1b  gloris-1505 03/10/2017
3e  HECTORGV 18/10/2017
Curs indeterminat  Chesca 29/10/2017
3e  PepaFlores 29/10/2017
Curs indeterminat  AndreuBonet 29/10/2017
Professor/a  FredoBorras 30/10/2017
Curs indeterminat  pauiau 30/10/2017
3e  OriolITEC1 30/10/2017
3e  Tania 30/10/2017