Problema del mes de juny de 2018: 4t d'ESO

Siguin $a$ i $r$ dos nombres reals, i considerem els següents $10$ nombres: $$ar,\; ar^2,\; ar^3,\; \ldots \;, ar^{10}$$

Sabem que la seva suma és $18$, i la suma dels seus inversos (o recíprocs), és $6$.

Quin és el seu producte?

Emprant la fórmula per sumar progressions geomètriques, podem expressar la primera suma com: $$\sum_{n=1}^{10}ar^n = \frac{ar-ar^{11}}{1-r} = \frac{ar(1-r^{10})}{1-r}= 18$$ Ara podem emprar la mateixa fórmula, però per la progressió: $$ a^{-1}r^{-1},\; a^{-1}r^{-2},\; \ldots,\; a^{-1}r^{-10} $$ Un cop tinguis les dues sumes calculades, es pot dividir la primera per la segona, i el resultat queda molt simplificat.
Dividint la suma dels nombres per la suma dels seus inversos, es pot deduir que: $$\frac{18}{6} = a^2r^{11}$$ Sabent aquesta igualtat, ja es pot calcular el producte dels deu nombres.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.

Classificació 4t d'ESO
Estudiants que cursen 4t d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
1r de Batxillerat  PauCantos 01/06/2018
4t d'ESO  lorodane 03/06/2018
4t d'ESO  HECTORGV 06/06/2018
4t d'ESO  carsan 06/06/2018
4t d'ESO  Joan_Vila 17/06/2018
4t d'ESO  ROSASOLER 06/06/2018

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 4t d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  Sergi_bm 01/06/2018
Professor/a  rsempere 01/06/2018
Professor/a  arakelov 01/06/2018
Professor/a  PACOVES 01/06/2018
2n de Batxillerat  arnaupadres 01/06/2018
Professor/a  Marta1876 02/06/2018
Universitat  PepBorras 03/06/2018
Professor/a  montserrat... 03/06/2018
2n de Batxillerat  izanbf 05/06/2018
Professor/a  cristian.r... 14/06/2018
Universitat  meritxell_... 17/06/2018