Problema del mes de març de 2018: 2n d'ESO

Tretze amics juguen a un joc: inicialment, tots seuen en una rodona:

A Marc, que està a la posició 11, li demanen que triï un número.

La persona del número triat, haurà d'abandonar el cercle. A partir del número següent, aniran comptant en el sentit de les agulles del rellotge, i la persona que faci 1313 haurà d'abandonar el cercle. Seguidament, i començant del següent número que segueixi al cercle, tornaran a comptar fins a 1313... i així successivament fins que només quedi una persona. Qui quedi al final guanyarà un premi.

Per exemple, si Marc triés el número 33, el següent a abandonar el cercle seria el 44, com veiem a la següent figura:

A Marc el joc no li sembla massa divertit, però sí que li sembla interessant la següent qüestió: quin nombre ha de triar per a ser ell el guanyador?

Tria un nombre a l'atzar i segueix el procés d'eliminació. Per exemple, si triem el 33, aquest ordre és: 3, 4, 6, …3,\ 4,\ 6,\ \ldots Quan hagis esbrinat quin nombre queda al final, fixa't a quina distància està del nombre inicial.
Seguint amb l'exemple de la pista anterior, recordem que l'ordre comença: 3, 4, 6, 9, 13, …3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 13,\ \ldots

Suposem que al final queda el nombre 55 (ja avisem que no és aquest el nombre que queda al final!). Llavors sabríem que el premi se l'endurà qui estiga 22 posicions més enllà que l'inicial. En aquest cas, per tal que guanyés l'11, hauria de començar el 1212.

Començarem comptant qui quedaria eliminat si triem el número 11 (cosa que evidentment no volem fer!). No tenim més remei que anar comptant al voltant del cercle, i l'ordre d'eliminació és: Pas→123456789101112Guanyador12471163510121389 \begin{array}{ccccccccccccccccc} \text{Pas}\rightarrow&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\text{Guanyador}\\ \\ &1&2&4&7&11&6&3&5&10&12&13&8&9 \end{array}

Hem vist que si comencem des del número 11, guanyarà el 99, que està 88 posicions més endavant.

Si volem que guanye l'11, haurem de triar el nombre que està 88 posicions més enrere, és a dir, el 66.

Si voleu saber més sobre aquest problema, es tracta d'una versió del Problema de Flavi Josep (o Josephus problem en anglès), un clàssic problema de matemàtiques i informàtica.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
p  jaquerol 01/03/2018
2e  NúriaG 01/03/2018
1e  andreu5 01/03/2018
1e  polrt 02/03/2018
2e  enavas08 02/03/2018
2e  r4m_0n 03/03/2018
1e  Ana.11.17 04/03/2018
2e  MuFFiN 05/03/2018
2e  FerranCBU 06/03/2018
2e  lauramas6 06/03/2018
2e  Marc_Gili 08/03/2018
2e  Ivan_FC 09/03/2018
2e  ormapa 10/03/2018
2e  MarGubianas 13/03/2018
2e  Sau 17/03/2018
1e  victoras 18/03/2018
2e  anubis 19/03/2018
2e  AndreaMonzo 22/03/2018
2e  saruca 24/03/2018
1e  rosapertusa 25/03/2018
1e  CarlosBarr... 26/03/2018
1e  ikerzr 27/03/2018
1e  polgm 28/03/2018
2e  mmontull 28/03/2018
1e  jaumeam 31/03/2018
2e  MaxMalysh 01/04/2018
1e  maxep 04/03/2018
1e  abrilsa 18/03/2018
1e  polbm 23/03/2018
1e  alexhp 26/03/2018
2e  Aleix01 08/03/2018
2e  AnnaMalilkova 01/03/2018
2e  Bsaidy 03/03/2018
2e  LaiaXin 03/03/2018
1e  Jaumemar@ 05/03/2018
2e  Robert 07/03/2018
2e  Aleix 07/03/2018
2e  Messi__10 08/03/2018
2e  CARLES 09/03/2018
1e  Ana_13 12/03/2018
2e  Mgubianas 13/03/2018
2e  Jamer7 14/03/2018
2e  meeehaaak 15/03/2018
1e  pep_11 20/03/2018
2e  AlexNavarrov 21/03/2018
2e  Pelli 22/03/2018
1e  Alfred.Martí 29/03/2018
2e  Gabisg04 30/03/2018
2e  maria.cotaina 31/03/2018
1e  txellcj 31/03/2018

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
3e  blmiquel 01/03/2018
Professor/a  cristian.r... 01/03/2018
Universitat  Pau 01/03/2018
Professor/a  Sergi_bm 01/03/2018
4e  PauCantos 01/03/2018
Universitat  Ponta 02/03/2018
Universitat  sergioRG 02/03/2018
Professor/a  Xavi 02/03/2018
Universitat  PepBorras 02/03/2018
1b  martijuanola 02/03/2018
Curs indeterminat  Nasar 04/03/2018
3e  Moha_109 06/03/2018
Professor/a  Frederic 09/03/2018
4e  VíctorConc... 10/03/2018
Professor/a  lmanuel 12/03/2018
Curs indeterminat  Anitaa 12/03/2018
3e  ROSASOLER 14/03/2018
3e  carsan 14/03/2018
3e  ainhoasancho 16/03/2018
Professor/a  Marta1876 17/03/2018
Curs indeterminat  racus545 20/03/2018
Curs indeterminat  Jordi.Ferrer 22/03/2018
Curs indeterminat  AndreuBonet 22/03/2018
1b  enriquervwtf 25/03/2018
Professor/a  Guida 25/03/2018
4e  Diego123a73 26/03/2018
Professor/a  tmillan 30/03/2018
Curs indeterminat  Feral 30/03/2018
4e  JavierN 30/03/2018
Universitat  Segarra 02/03/2018
1b  arnaupadres 02/03/2018
Curs indeterminat  Bresopau_07 09/03/2018
Professor/a  speire 01/03/2018
3e  HECTORGV 14/03/2018
Curs indeterminat  Adrián 01/03/2018
3e  mguzman4 02/03/2018
Curs indeterminat  patata 02/03/2018
Curs indeterminat  Racus555 09/03/2018