Problema del mes de març de 2018: 2n d'ESO

Tretze amics juguen a un joc: inicialment, tots seuen en una rodona:

A Marc, que està a la posició $1$, li demanen que triï un número.

La persona del número triat, haurà d'abandonar el cercle. A partir del número següent, aniran comptant en el sentit de les agulles del rellotge, i la persona que faci $13$ haurà d'abandonar el cercle. Seguidament, i començant del següent número que segueixi al cercle, tornaran a comptar fins a $13$... i així successivament fins que només quedi una persona. Qui quedi al final guanyarà un premi.

Per exemple, si Marc triés el número $3$, el següent a abandonar el cercle seria el $4$, com veiem a la següent figura:

A Marc el joc no li sembla massa divertit, però sí que li sembla interessant la següent qüestió: quin nombre ha de triar per a ser ell el guanyador?

Tria un nombre a l'atzar i segueix el procés d'eliminació. Per exemple, si triem el $3$, aquest ordre és: $$3,\ 4,\ 6,\ \ldots$$ Quan hagis esbrinat quin nombre queda al final, fixa't a quina distància està del nombre inicial.
Seguint amb l'exemple de la pista anterior, recordem que l'ordre comença: $$3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 13,\ \ldots$$

Suposem que al final queda el nombre $5$ (ja avisem que no és aquest el nombre que queda al final!). Llavors sabríem que el premi se l'endurà qui estiga $2$ posicions més enllà que l'inicial. En aquest cas, per tal que guanyés l'$1$, hauria de començar el $12$.

Començarem comptant qui quedaria eliminat si triem el número $1$ (cosa que evidentment no volem fer!). No tenim més remei que anar comptant al voltant del cercle, i l'ordre d'eliminació és: $$ \begin{array}{ccccccccccccccccc} \text{Pas}\rightarrow&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&\text{Guanyador}\\ \\ &1&2&4&7&11&6&3&5&10&12&13&8&9 \end{array} $$

Hem vist que si comencem des del número $1$, guanyarà el $9$, que està $8$ posicions més endavant.

Si volem que guanye l'$1$, haurem de triar el nombre que està $8$ posicions més enrere, és a dir, el $6$.

Si voleu saber més sobre aquest problema, es tracta d'una versió del Problema de Flavi Josep (o Josephus problem en anglès), un clàssic problema de matemàtiques i informàtica.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
p  jaquerol 01/03/2018
2e  NúriaG 01/03/2018
1e  andreu5 01/03/2018
1e  polrt 02/03/2018
2e  enavas08 02/03/2018
2e  r4m_0n 03/03/2018
1e  Ana.11.17 04/03/2018
2e  MuFFiN 05/03/2018
2e  FerranCBU 06/03/2018
2e  lauramas6 06/03/2018
2e  Marc_Gili 08/03/2018
2e  Ivan_FC 09/03/2018
2e  ormapa 10/03/2018
2e  MarGubianas 13/03/2018
2e  Sau 17/03/2018
1e  victoras 18/03/2018
2e  anubis 19/03/2018
2e  AndreaMonzo 22/03/2018
2e  saruca 24/03/2018
1e  rosapertusa 25/03/2018
1e  CarlosBarr... 26/03/2018
1e  ikerzr 27/03/2018
1e  polgm 28/03/2018
2e  mmontull 28/03/2018
1e  jaumeam 31/03/2018
2e  MaxMalysh 01/04/2018
1e  maxep 04/03/2018
1e  abrilsa 18/03/2018
1e  polbm 23/03/2018
1e  alexhp 26/03/2018
2e  Aleix01 08/03/2018
2e  AnnaMalilkova 01/03/2018
2e  Bsaidy 03/03/2018
2e  LaiaXin 03/03/2018
1e  Jaumemar@ 05/03/2018
2e  Robert 07/03/2018
2e  Aleix 07/03/2018
2e  Messi__10 08/03/2018
2e  CARLES 09/03/2018
1e  Ana_13 12/03/2018
2e  Mgubianas 13/03/2018
2e  Jamer7 14/03/2018
2e  meeehaaak 15/03/2018
1e  pep_11 20/03/2018
2e  AlexNavarrov 21/03/2018
2e  Pelli 22/03/2018
1e  Alfred.Martí 29/03/2018
2e  Gabisg04 30/03/2018
2e  maria.cotaina 31/03/2018
1e  txellcj 31/03/2018

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
3e  blmiquel 01/03/2018
Universitat  vic300 01/03/2018
Professor/a  cristian.r... 01/03/2018
Universitat  Pau 01/03/2018
Professor/a  Sergi_bm 01/03/2018
4e  PauCantos 01/03/2018
Universitat  Ponta 02/03/2018
Universitat  sergioRG 02/03/2018
Professor/a  Xavi 02/03/2018
Universitat  PepBorras 02/03/2018
1b  martijuanola 02/03/2018
Curs indeterminat  Nasar 04/03/2018
3e  Moha_109 06/03/2018
Professor/a  Frederic 09/03/2018
4e  VíctorConc... 10/03/2018
Professor/a  lmanuel 12/03/2018
Curs indeterminat  Anitaa 12/03/2018
3e  ROSASOLER 14/03/2018
3e  carsan 14/03/2018
3e  ainhoasancho 16/03/2018
Professor/a  Marta1876 17/03/2018
Curs indeterminat  racus545 20/03/2018
Curs indeterminat  Jordi.Ferrer 22/03/2018
Curs indeterminat  AndreuBonet 22/03/2018
1b  enriquervwtf 25/03/2018
Professor/a  Guida 25/03/2018
4e  Diego123a73 26/03/2018
Professor/a  tmillan 30/03/2018
Curs indeterminat  Feral 30/03/2018
4e  JavierN 30/03/2018
Universitat  Segarra 02/03/2018
1b  arnaupadres 02/03/2018
Curs indeterminat  Bresopau_07 09/03/2018
Professor/a  speire 01/03/2018
3e  HECTORGV 14/03/2018
Curs indeterminat  Adrián 01/03/2018
3e  mguzman4 02/03/2018
Curs indeterminat  patata 02/03/2018
Curs indeterminat  Racus555 09/03/2018