Problema del mes de novembre de 2018: 2n d'ESO

La professora de matemàtiques divideix els seus alumnes en tres grups, i a cada grup li fa un encàrrec:

— Apunteu en un paper tots els nombres parells entre l'$1$ i el $2018$ (ambdós inclosos).

— Apunteu en un paper tots els múltiples de 3 entre l'$1$ i el $2018$ (ambdós inclosos).

— Apunteu en un paper tots els nombres entre l'$1$ i el $2018$ (ambdós inclosos) que siguin divisibles per $4$.

I llavors llança una pregunta a la classe:

— Quants nombres apareixen en exactament dues de les llistes?

Estalvia feina als teus companys, i calcula el resultat sense necessitat d'escriure tant!

Fixem-nos que els múltiples de $4$ sempre ho són també de $2$, i per tant sempre apareixen dos cops com a mínim. D'aquests, els que no són múltiples de $3$, són els que apareixen exactament dos cops.

Dels múltiples de $3$, apareixen dos cops tots els que també ho són de $6$ però no de $4$. És a dir, els múltiples de $6$ que no ho són també de $12$.

Per comptar el nombre de múltiples de $4$ que no ho són de $12$, només hem de fer l'operació: $$\frac{2018}4-\frac{2018}{12}$$ De forma anàloga, podem comptar els múltiples de $6$ que no ho són de $12$.
En primer lloc, adonem-nos que tots els múltiples de $4$, també són múltiples de $2$, i per tant apareixeran com a mínim dos cops. Apareixeran exactament dos cops aquells que no siguin múltiples de $3$. Concretament, dos de cada tres, no seran múltiples de $3$, com podem veure: $$4,\; 8,\; \sout{12},\; 16,\; 20,\; \sout{24},\; 28,\; \ldots$$ Per tant, comptem els múltiples de $4$ que no són múltiples de $12$: $$N_1 = \frac{2018}4-\frac{2018}{12}=336.\widehat{3}$$ D'altra banda, també apareixen dos cops aquells nombres parells que no siguin múltiples de $4$, però que sí que ho siguen de $3$. Es tracta doncs, de múltiples de $6$ que no ho són de $4$. Com abans, podem veure que la meitat dels múltiples de $6$ no ho són de $4$: $$6,\; \sout{12},\; 18,\; \sout{24},\; 30,\; \sout{36},\; 40,\; \ldots$$ Per tant, comptem els múltiples de $6$ que no ho són de $12$: $$N_2 = \frac{2018}6-\frac{2018}{12} = 168.1\widehat{6}$$ El nombre total serà la suma dels dos, sense tenir en compte els decimals: $$N=\lfloor N_1 \rfloor + \lfloor N_2 \rfloor = 336 + 168 = 504$$

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
p  jaquerol 01/11/2018
1e  ele 01/11/2018
1e  irenebn 04/11/2018
1e  nilugardxela 05/11/2018
2e  arturcolom... 06/11/2018
2e  loliver 07/11/2018
2e  Dagofo 17/11/2018
1e  rnl 17/11/2018
1e  hoysiquesi 19/11/2018
1e  pafosa 19/11/2018
1e  belenortega 25/11/2018
2e  a 25/11/2018
2e  Xavi_Oliva 27/11/2018
2e  Annapasques 27/11/2018
2e  Ana.11.17 27/11/2018
2e  Júlia05 29/11/2018
2e  Biel 29/11/2018
2e  -XemaGarri... 29/11/2018
2e  Pablo-Soto 29/11/2018
2e  Cristian.L... 29/11/2018
2e  aarmengol1 29/11/2018
2e  alina_gorrita 29/11/2018
2e  hector@cds... 29/11/2018
2e  Ana.Vidal_... 30/11/2018
2e  Kirtash 01/11/2018
1e  victoras06 24/11/2018
1e  joanbr 24/11/2018
2e  Alex_Llorens. 29/11/2018
2e  Gpeiro05 29/11/2018
2e  guillempas... 30/11/2018
1e  ivetmpons 30/11/2018
1e  laiagc 17/11/2018
1e  ivs06 17/11/2018
2e  mcastella 07/11/2018
2e  MartinaPB 09/11/2018
1e  avrilvt 17/11/2018
2e  Omar.Faiz 29/11/2018
2e  Txemagarrigos 29/11/2018
2e  Jaumemar@ 29/11/2018
2e  Alfred.Martí 29/11/2018
2e  Aurora.soler 29/11/2018
2e  Paula_tara... 29/11/2018
2e  Stefannik 30/11/2018

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  cristian.r... 01/11/2018
Professor/a  montserrat... 01/11/2018
Professor/a  dmartos 01/11/2018
1b  PauCantos 01/11/2018
Professor/a  arakelov 01/11/2018
2b  martijuanola 01/11/2018
2b  Acma22 01/11/2018
Curs indeterminat  gemmagf 02/11/2018
2b  arnaupadres 02/11/2018
Professor/a  tmillan 03/11/2018
Professor/a  rsempere 05/11/2018
Professor/a  Eva 06/11/2018
2b  izanbf 09/11/2018
3e  ormapa 25/11/2018
1b  JavierN 27/11/2018
Curs indeterminat  Feral 27/11/2018
4e  JosepLlorca 29/11/2018
Curs indeterminat  helgacolomer 30/11/2018
Professor/a  Sergi_bm 01/11/2018
Curs indeterminat  luca.passo... 01/11/2018
Universitat  vic300 01/11/2018
Professor/a  Xavi 02/11/2018
2b  enriquervwtf 03/11/2018
2b  PauCantos2 04/11/2018
Curs indeterminat  Esparza 29/11/2018
3e  jorhermar45 01/11/2018
Professor/a  SoniaPC 01/11/2018
Curs indeterminat  nou 02/11/2018
Universitat  PepBorras 06/11/2018
Curs indeterminat  Oriol_M 11/11/2018
Curs indeterminat  lidiaferna... 04/11/2018
Curs indeterminat  lucasmf 18/11/2018
Curs indeterminat  DavidBV 25/11/2018
Curs indeterminat  Chesca 26/11/2018
Professor/a  Mcorb 29/11/2018
Curs indeterminat  Emili 29/11/2018