Un número és un quadrat perfecte si tots els seus factors primers tenen un exponent parell.

Per exemple, $4 = 2^2$ o $571536 = 2^4 \cdot 3^6 \cdot 7^2 $ són quadrats perfectes, però $45 = 3^2 \cdot 5^1$ no.

Com que $2, 3$ i $5$ no són quadrats perfectes, haurem de passar un nombre parell de vegades per cada un d'ells.

L'últim pas ha de ser horitzontal.

La solució és un nombre menor que $5$.

Cal notar que per tal que el producte sigui un quadrat, haurem de passar per un nombre parell de vegades per $5$'s, $3$'s i $2$'s. D'altra banda, podem passar per tants $4$'s i $1$'s com vulguem.

Ara, per construir els camins començarem des del final.

En primer lloc, cal notar que l'últim pas ha de ser horitzontal ja que, si no, només tindríem un $5$ al producte final.

Ara, podem provar que passa si continuem per la fila dels $5$'s. En aquest cas, haurem de passar per sobre de quatre $5$'s, però llavors quan baixem no tindrem espai per afegir un nombre parell de $3$'s i de $2$'s.

Per tant, ens veiem obligats a baixar a la fila dels $4$'s. Ens queden per fer tres moviments horitzontals, i hem de passar mínim per dos $2$'s i dos $3$'s.

Si passem quatre cops per un d'aquests, no tindrem espai a afegir el mínim de l'altre. És a dir, el nostre camí haurà de tenir exactament dos $2$'s i dos $3$'s.

I ara ja és evident que els únics camins que ens van bé són els següents

Que ens donen un resultat de $1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4 \cdot 5^2 = 60^2$ i $1 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdot 5^2 = 120^2 $, respectivament.

És a dir, el cargol pot seguir $\boxed{2}$ camins diferents.