Problema del mes d'octubre de 2020: 2n de Batxillerat

En un triangle equilàter, hi encabim tres quadrats tal com s'indica a la figura, i els costats dels quadrats són $l, 2l$ i $3l$ per a un cert $l$ real positiu.

Calculem la divisió: $\dfrac{\text{àrea total del triangle equilàter}}{\text{àrea dels quadrats}}$ i l'expressem en la forma $\dfrac{a+b\sqrt{3}}{c}$ (amb $a,b,c$ naturals sense cap factor comú). Quant val $b$?

Primer de tot trobarem la longitud del costat del triangle equilàter. Per a això, notem que en els dos triangles que ens apareixen als costats dels quadrats tenen angles $30^{\circ} - 60^{\circ} - 90^{\circ}$

En particular, amb un càlcul senzill de trigonometria podem trobar la longitud dels segments que desconeixem. En total, la base del triangle fa $$ l \tan 30^\circ + l + 2l + 3l + 3l \tan 30^\circ = l \Big(6 + \frac{4}{\sqrt{3}} \Big) $$

L'àrea dels quadrats és senzilla de calcular $$ l^2 + (2l)^2 + (3l)^2 $$

L'àrea d'un triangle equilàter de costat $c$ és $\frac{c^2\sqrt{3}}{4}$, substituint la longitud del costat que acabem de trobar tenim que l'àrea del triangle és $$\frac{ l^2 \big(6 + \frac{4}{\sqrt{3}} \big)^2 \sqrt{3}}{4} $$

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.

Classificació 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat o un curs inferior.

# Usuari Data
2b  lorodane 01/10/2020
1b  Nomarolbap 01/10/2020
2b  ÀlexRodríguez 02/10/2020
1b  enriccat 02/10/2020
1b  visca 02/10/2020
2b  PolPifa 04/10/2020
2b  alfonsopas... 05/10/2020
4e  Alexia2005 05/10/2020
2b  nailabernaus 05/10/2020
2b  CXZ03 21/10/2020
1b  PauMB 24/10/2020
5p  martinos 31/10/2020
2b  Farrius 01/10/2020
1b  Núria_04 06/10/2020
1b  lauvilo 31/10/2020
2b  crissana 21/10/2020
1b  PolO 27/10/2020

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n de Batxillerat.

# Usuari Data
Professor/a  Sergi_bm 01/10/2020
Professor/a  rsempere 01/10/2020
Professor/a  montserrat... 01/10/2020
Professor/a  bach22 02/10/2020
Professor/a  JABorrás 02/10/2020
Universitat  joanmatematic 03/10/2020
Curs indeterminat  AlexKende 04/10/2020
Curs indeterminat  lriuet 05/10/2020
Curs indeterminat  arnoldfini 05/10/2020
Professor/a  arakelov 24/10/2020
Curs indeterminat  rbargallor 24/10/2020
Universitat  JM 01/10/2020
Curs indeterminat  BMartinell 02/10/2020
Universitat  PauCantos 04/10/2020
Professor/a  avelez6 25/10/2020
Curs indeterminat  ZHENO 21/10/2020
Curs indeterminat  paulavidal 04/10/2020
Curs indeterminat  Bernat 24/10/2020