Digues $x_1 = a$ i $x_2 = b$, i ves deduint el valor dels altres.

$$\begin{cases} x_3 = x_1 + x_2 = a+b \\ x_4 = x_2 + x_3 = b + (a+b) = a+2b \\ x_5 = x_3 + x_4 = (a+b) + (a+2b) = 2a+3b \\ x_6 = x_4 + x_5 = (a+2b) + (2a+3b) = 3a+5b \\ x_7 = x_5 + x_6 = (2a+3b) + (3a+5b) = 5a+8b \end{cases}$$

Què passa amb $x_1$, $x_2$, quan acabem de donar la volta a la taula?

Però ara, quan acabem de donar la volta, vegem què passa amb les últimes condicions.

$$\begin{cases} a = x_1 = x_6 + x_7 = (3a + 5b) + (5a+8b) = 8a+13b \\ b = x_2 = x_7 + x_1 = (5a+8b) + a = 6a+8b \end{cases} \implies \begin{cases} 7a+13b = 0 \\ 6a +7b = 0 \end{cases} $$

Quina és la solució d'aquest sistema?

Diem $a = x_1$ i $b = x_2$ al valor dels dos primers, i seguirem les relacions imposades per trobar el valor dels altres.

$$\begin{cases} x_3 = x_1 + x_2 = a+b \\ x_4 = x_2 + x_3 = b + (a+b) = a+2b \\ x_5 = x_3 + x_4 = (a+b) + (a+2b) = 2a+3b \\ x_6 = x_4 + x_5 = (a+2b) + (2a+3b) = 3a+5b \\ x_7 = x_5 + x_6 = (2a+3b) + (3a+5b) = 5a+8b \end{cases}$$

Però ara, quan acabem de donar la volta, vegem què passa amb les últimes condicions.

$$\begin{cases} a = x_1 = x_6 + x_7 = (3a + 5b) + (5a+8b) = 8a+13b \\ b = x_2 = x_7 + x_1 = (5a+8b) + a = 6a+8b \end{cases} \implies \begin{cases} 7a+13b = 0 \\ 6a +7b = 0 \end{cases} $$

Però aquest és un sistema compatible determinat, ja que $\begin{vmatrix} 7 & 13 \\ 6 & 7 \end{vmatrix} \neq 0$, i té com a única solució $(a,b) = (0,0)$.

És a dir, l'única manera que se satisfacin les igualtats és que tots els números siguin $0$. Per tant, la quantitat de nombres no nuls és $\boxed{0}$.