De quantes maneres pot fer-ho si la mida de la prestatgeria és $1$? I si fos $2$ , $3$, $4$...? Pots reconèixer aquests números?

Si diem $L_n$ el nombre de maneres d'omplir una prestatgeria de mida $n$, podem trobar la següent relació. Si ens fixem en el llibre en la posició $n$, pot ser que sigui vermell o que sigui groc.

En el primer cas, tenim $L_{n-1}$ maneres d'omplir les primeres $n-1$ posicions de la prestatgeria, i després posem un llibre vermell a la posició $n$.

En el segon cas, si afegim el llibre $n$ és groc, necessàriament el $n-1$ també era groc. Per tant, tenim $L_{n-2}$ maneres d'omplir les primeres $n-2$ posicions, i després vindrien dos grocs en les posiciones $n-1$ i $n$.

Per tant, en total amb els dos casos el nombre de maneres amb $n$ posicions és $L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$. Com que $L_1 = 1$ (si només hi ha un lloc, només podem posar un llibre vermell), apareixen llavors els nombres de Fibonacci. Quin és $L_{7}$?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.