Considera un nombre de dues xifres en general $\overline{xy} = 10x+ y$. La condició que s'ha de complir és $$ \frac{\overline{xy}}{2} = x\cdot y \quad \implies \quad \frac{10x+y}{2} = x\cdot y \quad \implies \quad 5x + \frac{y}{2} = x\cdot y $$

on recorda que $x, y$ són dígits, entre $0$ i $9$.

La relació trobada es pot reescriure com $$ x \cdot y -5x -\frac{y}{2} = 0 \quad \implies \quad x \cdot y -5x -\frac{y}{2} +\frac{5}{2} = \frac{5}{2} \quad \implies \quad \left(x-\frac{1}{2}\right)(y-5)=\frac{5}{2} \quad \implies \quad (2x-1)(y-5)=5 $$

Com $5$ és primer, aquest producte pot ser únicament $1\cdot 5$ o bé $5 \cdot 1$, quins resultats donarien en cada cas?

Si prenem un nombre de dues xifres en general $\overline{xy} = 10x+ y$, veiem que s'ha de complir $$ \frac{\overline{xy}}{2} = x\cdot y \quad \implies \quad \frac{10x+y}{2} = x\cdot y \quad \implies \quad 5x + \frac{y}{2} = x\cdot y $$

Ara, notem que podem factoritzar l'última relació, com segueix $$ x \cdot y -5x -\frac{y}{2} = 0 \quad \implies \quad x \cdot y -5x -\frac{y}{2} +\frac{5}{2} = \frac{5}{2} \quad \implies \quad \left(x-\frac{1}{2}\right)(y-5)=\frac{5}{2} \quad \implies \quad (2x-1)(y-5)=5 $$

Tanmateix, com que el número $5$ és primer, l'única manera d'expressar-lo com a producte de dos nombres enters positius és $1\cdot5$ o bé $5 \cdot 1$. Estudiant els dos casos obtenim les dues possibles solucions: $$ \begin{cases} 2x-1 = 1 \implies x = 1 \\ y-5 = 5 \implies y = 10 \end{cases} \quad \implies \text{no té sentit, $y$ és un dígit} $$ $$\begin{cases} 2x-1 = 5 \implies x = 3 \\ y-5 = 1 \implies y = 6 \end{cases} \quad \implies \text{solució vàlida } \overline{xy} = 36$$

En efecte, podem comprovar que $\boxed{36}$ és el número que ha trobat la Berta, i és el més petit ja que en particular és l'únic. $$ \frac{36}{2} = 18 = 3\cdot 6 $$

Les comprovacions que no es pot amb nombres més petits no són necessàries donada la demostració anterior, però en qualsevol cas s'inclouen a continuació. Per a un número $\overline{1y} = 10 + y$, aleshores hauria de complir $$ \overline{1y}/2 = 1\cdot y \quad \implies \quad 5 + y/2 = y \quad \implies \quad y = 10 $$

Que òbviament no és solució, ja que $y$ és un únic dígit, entre $0$ i $9$.

Continuant amb els nombres $\overline{2y} = 20 + y $, s'hauria de complir $$ \overline{2y}/2 = 2 \cdot y \quad \implies \quad 10 +y/2 = 2y \quad \implies \quad y = 20/3 $$

Que tampoc ens dona una solució vàlida, ja que $y$ hauria de ser un dígit enter.

I finalment, per als $\overline{3y} = 30 + y $, s'hauria de complir $$ \overline{3y}/2 = 3 \cdot y \quad \implies \quad 15 +y/2 = 3y \quad \implies \quad y = 6 $$

Ens dona la solució que ja havíem trobat.