Problema del mes de març de 2021: 2n d'ESO

La Martina ha dibuixat un $n$-àgon regular, és a dir, un polígon amb $n$ costats iguals. L'Oriol vol saber quants costats té, però ella només li respon el següent

$\quad$ Els angles interiors del meu polígon valen $150^{\circ}$.

Amb aquesta informació, saps dir quant val $n$? És a dir, quants costats té el polígon de la Martina?


Nota: Per exemple, en un hexàgon regular ($6$ costats) l'angle interior val $120^{\circ}$. O per exemple, en un octàgon regular ($8$ costats), val $135^{\circ}$.

$\quad \quad$

Per trobar l'angle interior d'un polígon regular en general, primer de tot hem de veure que podem dividir el polígon en triangles iguals, unint els vèrtexs amb el centre. Raonem primer per a un heptàgon

Ara, aquí és clar que l'angle blau és $1/7$ part de l'angle central, que val $360^{\circ}$ tot, és a dir $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{7} $$

Aleshores, com el triangles dibuixats són isòsceles, els angles verds són iguals i podem veure que valen $$ 180^{\circ} = \textcolor{blue}{\angle Blau} + \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} +\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} )$$

Llavors, l'angle interior de l'heptàgon és precisament dos cops l'angle verd. En conclusió, l'angle interior de l'heptàgon val $$ \angle \text{heptàgon} = 2\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = 2 \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} ) = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7}$$

Sabries calcular ara l'angle interior d'un polígon amb $n$ costats?

Si calculem per a un polígon regular de $n$ costats, obtindrem que l'angle interior és $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{n} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} ) \quad \Longrightarrow \quad \angle n\text{-àgon} = 180^{\circ}- \frac{360^{\circ}}{n}$$

Per tant, quant val $n$?

Anem a calcular quant val l'angle interior d'un polígon regular de $n$ costats.

Primer de tot, hem de veure que podem dividir el polígon en triangles iguals, unint els vèrtexs amb el centre. Per veure-ho clar, raonem primer per a un heptàgon ($7$ costats):

Ara, aquí és clar que l'angle blau és $1/7$ part de l'angle central, que val $360^{\circ}$ tot, és a dir $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{7} $$

Aleshores, com el triangles dibuixats són isòsceles, els angles verds són iguals i podem veure que valen $$ 180^{\circ} = \textcolor{blue}{\angle Blau} + \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} +\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} )$$

Llavors, l'angle interior de l'heptàgon és precisament dos cops l'angle verd. En conclusió, l'angle interior de l'heptàgon val $$ \angle \text{heptàgon} = 2\textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = 2 \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7} ) = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{7}$$

Si fem això per un polígon regular de $n$ costats, obtindrem que l'angle interior és $$ \textcolor{blue}{\angle Blau} = \frac{360^{\circ}}{n} \quad \Longrightarrow \quad \textcolor{LimeGreen}{\angle Verd} = \frac{1}{2} ( 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} ) \quad \Longrightarrow \quad \angle n\text{-àgon} = 180^{\circ}- \frac{360^{\circ}}{n}$$

Si la Martina diu que l'angle interior del seu polígon regular és de $150^{\circ}$, podem aïllar $n$ com $$ 150^{\circ} = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} \quad \Longrightarrow \quad n = \frac{360^{\circ}}{30^{\circ}} = 12 $$

En conclusió, el polígon de la Martina té $\boxed{n=12 \text{ costats}}$.

Classificació 2n d'ESO
Estudiants que cursen 2n d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
2e  mar2 01/03/2021
6p  EloiOrigami 01/03/2021
2e  rubenvinaros 01/03/2021
5p  martinos 01/03/2021
2e  Pol14 03/03/2021
1e  paucamarillas 03/03/2021
2e  David07 03/03/2021
2e  Mariorizea 03/03/2021
2e  jaquerol 03/03/2021
1e  JoanaFolia 03/03/2021
2e  malbaiges1... 25/03/2021
2e  Leire 31/03/2021
1e  HctorCifre 03/03/2021
2e  Guillemayet 03/03/2021
2e  Mar14 30/03/2021
1e  megawarret... 03/03/2021

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  JABorrás 01/03/2021
Curs indeterminat  Guillem27 01/03/2021
Curs indeterminat  ORIOL27 01/03/2021
Curs indeterminat  Marc_Vitales 01/03/2021
Curs indeterminat  jana07 01/03/2021
Professor/a  tmillan 01/03/2021
Professor/a  montserrat... 01/03/2021
4e  Alexia2005 01/03/2021
1b  Nomarolbap 02/03/2021
1b  AlexandreR... 03/03/2021
4e  Ana.11.17 04/03/2021
4e  AlvaroSalon 06/03/2021
Professor/a  Marta1876 27/03/2021
Universitat  sergioRG 28/03/2021
Curs indeterminat  Diegosal 29/03/2021
Curs indeterminat  Blanca 31/03/2021
4e  evmogi 31/03/2021
Curs indeterminat  Pintor 03/03/2021