En realitat només ens importa la xifra final de $a$ i $b$, així que podem suposar que en realitat aquests dos números estan entre $1,2,3,\ldots,9$.

Prova diverses combinacions.

Si $a$ i $b$ són nombres d'una sola xifra, podem provar per als casos en què $a+b=3$ i veure quant es $a^3+b^3$.

$\quad a = 2, b = 1 \implies a^3+b^3 =8+1 = 9 \quad \text{ NO} $

$\quad a = 3, b = 0 \implies a^3+b^3 = 27 + 0 = 27 \quad \text{ NO} $

$\quad a = 4, b = 9 \implies a^3+b^3 = 64 + 729 = 793 \quad \text{ SÍ} $

$\quad a = 5, b = 8 \implies a^3+b^3 = 125 + 512 = 637 \quad \text{ NO} $

$\quad a = 6, b = 7 \implies a^3+b^3 = 216 + 343 = 559 \quad \text{ NO} $

En realitat només ens importa la xifra final de $a$ i $b$, així que podem suposar que en realitat aquests dos números estan entre $1,2,3,\ldots,9$.

Llavors, si $a$ i $b$ són nombres d'una xifra tals que $a+b$ acaba en $3$, tenim les següents possibilitats. Mirant per a cada una en què acaba $a^3+b^3$ trobarem l'opció correcta.

$\quad a = 2, b = 1 \implies a^3+b^3 =8+1 = 9 \, \, \quad \text{ NO} $

$\quad a = 3, b = 0 \implies a^3+b^3 = 27 + 0 = 27 \, \quad \text{ NO} $

$\quad a = 4, b = 9 \implies a^3+b^3 = 64 + 729 = 793 \quad \text{ SÍ} $

$\quad a = 5, b = 8 \implies a^3+b^3 = 125 + 512 = 637 \quad \text{ NO} $

$\quad a = 6, b = 7 \implies a^3+b^3 = 216 + 343 = 559 \quad \text{ NO} $

i no cal comprovar més casos, ja que la resta serien intercanviant $a$ i $b$. Per tant, l'únic factible que hem trobat és que un dels nombres acabi en $4$ i l'altre en $9$.

En aquest cas, trobem que la suma demanda acabarà $$ a^2+ b^2 = 4^2 + 9^2 = 16+ 81 = 97 $$

en la xifra $\boxed{7}$.