Problema del mes de gener de 2022: 2n de Batxillerat

L'Edu està organitzant una festa per celebrar cap d'any. Per això, ha comprat uns globus on es llegeix

$$ \text{Bon any } 2022! $$

La Núria, com a bona matemàtica, li ha fet notar que l'exclamació al final del nombre pot confondre's amb un factorial. De fet, el factorial de $2022$ és un nombre molt gran. Sense haver de calcular-lo, sabries dir amb quants 0 acaba el nombre $2022! = 2022\cdot 2021 \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 $ ?

Nota: Recorda que el factorial d'un nombre $n$ es defineix com $ n! = n\cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 $. Per exemple,

$\quad 1! = 1 $

$\quad 2! = 2\cdot 1 = 2 $

$\quad 3! = 3\cdot 2 \cdot 1 = 6$

$\quad 4! = 4\cdot 3\cdot 2 \cdot 1 = 24$

$\quad 5! = 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

$\quad \quad \vdots$

$\quad 10! = 10\cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3628800$

Per trobar el nombre de $0$ finals, cal comptar quants $2$ i $5$'s apareixen com a factors en el producte. En efecte, per cada $2\cdot 5 = 10$ afegirem un $0$ al resultat del factorial.

Ara bé, no ens cal comptar quants $2$ i quants $5$ tenim, sinó que només ens cal saber els $5$. La raó és que que trobarem menys quantitat de factors $5$ que $2$'s en tot el producte. Per tant, com que ens cal un de cada per afegir un $0$ final, el limitant és la quantitat de $5$s.

Per exemple, $6! =6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 2^4\cdot 5 \cdot 9 = 120$, hi tenim un $0$ final ja que hi apareixen quatre factors $2$, però només un factor $5$.

Per comptar el nombre de factors $5$ fixa't que passa amb els casos petits, per exemple, si en lloc de $2022$ féssim el problema per a $25!$.

En general la manera de comptar quants factors $5$ tenim és: sumar la quantitat de múltiples de $5$, més la quantitat de múltiples de $5^2$, més la quantitat de múltiples de $5^3$, etc.

Fixa't que per a $2022$, ja no hi haurà cap múltiple de $5^5 = 3125$, així que només has de comptar la quantitat de múltiples de $5, 5^2, 5^3, 5^4$.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.

Classificació 2n de Batxillerat
Estudiants que cursen 2n de Batxillerat o un curs inferior.

# Usuari Data
1b  Alexia2005 02/01/2022
2b  visca 03/01/2022
2b  rbargallor 14/01/2022
2b  Bernat 14/01/2022
2b  AlbaE.M. 25/01/2022
2b  PolO 27/01/2022
6p  martinos 29/01/2022
2b  gridsc 03/01/2022
2b  Nicotres 14/01/2022

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 2n de Batxillerat.

# Usuari Data
Professor/a  JABorrás 01/01/2022
Professor/a  arakelov 01/01/2022
Professor/a  Monroe 01/01/2022
Universitat  Guillem_dlc 19/01/2022
Universitat  Oriol47 26/01/2022
Professor/a  montserrat... 27/01/2022
Curs indeterminat  Francesca2 01/01/2022