Enumerem els dies de l'$1$ al $365$.

En Joan trucarà els dies $$1, 1+4, 1+2\cdot4, 1+3\cdot4, \ldots, 1+91\cdot 4 = 1,5, 9,13,17,21,25,29,\ldots, 365$$

és a dir, els que siguin un número de la forma $1+m\cdot4$. En particular, trucarà un total de $92$ vegades.

D'altra banda, la Mar trucarà els dies $$4, 4+5, 4+2\cdot 5, 4+3\cdot 5, \ldots, 4+72\cdot 5= 4,9,14,19,24,29, \ldots, 364 $$

és a dir, els que siguin un número de la forma $4 +n\cdot 5$. En particular, trucarà un total de $73$ vegades.

Fixa't que hi ha dies on truquen tant en Joan com la Mar, per exemple $9,29,\ldots$... Quants n'hi ha d'aquests?

Per comptar els dies en que rebrà alguna trucada, hem de comptar quants cops truca el Joan, sumar-li quants cops truca la Mar, i restar-li els dies en que truquen els dos (si no, aquests els estaríem comptant doble!).

Els dies en que trucarà alhora són els números que es poden expressar tant com a $1+ m\cdot 4 $ o bé com $4+ n\cdot 5$. Una ràpida inspecció (o bé, usant el Teorema Xinès del Residu) ens dona que aquests són els números de la forma $9 + k\cdot 20$, és a dir, el $9,29,49,\ldots$ Quants dies són llavors, els que truquen ambdós néts?

Enumerem els dies de l'$1$ al $365$.

En Joan trucarà els dies $$1, 1+4, 1+2\cdot4, 1+3\cdot4, \ldots, 1+91\cdot 4 = 1,5, 9,13,17,21,25,29,\ldots, 365$$

és a dir, els que siguin un número de la forma $1+m\cdot4$. En particular, trucarà un total de $92$ vegades.

D'altra banda, la Mar trucarà els dies $$4, 4+5, 4+2\cdot 5, 4+3\cdot 5, \ldots, 4+72\cdot 5= 4,9,14,19,24,29, \ldots, 364 $$

és a dir, els que siguin un número de la forma $4 +n\cdot 5$. En particular, trucarà un total de $73$ vegades.

Per comptar els dies en que rebrà alguna trucada, hem de comptar quants cops truca el Joan, sumar-li quants cops truca la Mar, i restar-li els dies en que truquen els dos (si no, aquests els estaríem comptant doble!).

Els dies en que trucaran alhora els dos són els números que es poden expressar tant com a $1+ m\cdot 4 $ o bé com $4+ n\cdot 5$. Una ràpida inspecció ens dona que aquests són els números de la forma $9 + k\cdot 20$, és a dir, $$9, 9+20, 9 +2\cdot 20, \ldots, 9 + 17\cdot 20 = 9,29,49,\ldots, 349$$

En particular, hi ha $18$ dies en què trucaran els dos néts.

Per tant, tot plegat l'àvia tindrà $$ 92 + 73 - 18= 147 $$

un total de $\boxed{147}$ dies bonics.