Notem que un nombre $n$ té un nombre finit de decimals si, i només si, $\dfrac{10^k}{n}$ és un enter per a algun enter $k$ (per exemple, prenent $k$ la quanitat de decimals en qüestió). Per exemple, per $n=20$, tenim $\dfrac{10^2}{20} = 10^2 \cdot 0.05 = 5$.

Aleshores, també tenim que $\dfrac{10^k}{n}$ és enter quan $n$ només té factors $2$ i $5$, ja que $n\mid 10^k = 2^k \cdot 5^k$. Per tant, concloem que els nombres estiuencs són aquells que només tenen factors $2$ i $5$ en la seva descomposició.

Per comptar els nombres estiuencs entre $1$ i $2022$, podem simplement enumerar-los, amb la informació que acabem de trobar, segons la seva forma

$\quad n = 2^k \cdot 5^0: \quad 2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{10} = 1024, \quad$ d'aquí en tenim $11$

$\quad n = 2^k \cdot 5^1: \quad 2^0\cdot 5 , 2^1 \cdot 5, 2^2 \cdot 5, \ldots, 2^8\cdot 5 = 1280, \quad$ d'aquí en tenim $9$

$\quad n = 2^k \cdot 5^2: \quad 2^0\cdot 5^2, 2^1 \cdot 5^2, 2^2 \cdot 5^2, \ldots, 2^6\cdot 5 = 1600, \quad$ d'aquí en tenim $7$

$\quad \quad \vdots$

i etcètera. Quants n'hi ha en total?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.