Si diem $A$ al nombre d'assistents al concert inicialment, tenim que $A$ ha de ser un múltiple de $12$.

D'altra banda, un cop arribat al bús hi ha $A+50$ assistents, i $A+50$ ha de ser un múltiple de $25$.

En particular, això vol dir que $A$ també és un múltiple de $25$.

Quin és el nombre més petit que és múltiple de $12$ i de $25$?

Si diem $A$ al nombre d'assistents al concert inicialment, tenim que $A$ ha de ser un múltiple de $12$.

D'altra banda, un cop arribat al bús hi ha $A+50$ assistents, i $A+50$ ha de ser un múltiple de $25$. En particular, això vol dir que $A$ també és un múltiple de $25$.

El mínim nombre $A$ que satisfà que és un múltiple de $12$ i de $25$ és precisament $mcm(12,25)=300$. Amb aquesta quantitat, el nombre d'adults després d'arribar l'autobús serà $$\frac{11}{25} \cdot (300+50) = 154 $$

Per tant, el mínim és $\boxed{154 \text{ adults}}$.