Problema del mes de març de 2022: 4t d'ESO

En Josep té $26$ cotxes de joguina, tots ells iguals . Un dia, avorrit, es posa a jugar de la següent manera. Reparteix els cotxes en dos equips, cadascun amb mínim un integrant. Aleshores, per cada parella de cotxes d'equips oposats (és a dir, un cotxe d'un equip i un de l'altre) disputa una carrera.

El Josep se n'adona que pot repartir els dos equips de diverses maneres$^*$. Si fes les carreres pertinents per totes les possibles distribucions d'equips, quantes carreres hauria de fer en total?

$^*$ Atenció, com els cotxes són iguals, en Josep NO distingeix, per exemple, els casos on els equips tenen $(12,14)$ o $(14,12)$ integrants.

Primer de tot, notem que les maneres de repartir els equips és fent grups de mida $$\{1,25\}, \{2,24\}, \ldots, \{12,14\}, \{13,13\}$$

Per tant, el que se'ns demana calcular és la suma $$ S =1\cdot 25 + 2 \cdot 24 + \ldots +12 \cdot 14 + 13 \cdot 13 $$

Podem reescriuee com a diferències de quadrats i agrupar $$ S = (13-12)(13+12) + (13-11)(13+11) + \ldots + (13-1)(13+1) + 13\cdot 13$$ $$ \quad = 13\cdot 13^2 - 12^2 - 11^2 - \ldots - 1^2 $$

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.

Classificació 4t d'ESO
Estudiants que cursen 4t d'ESO o un curs inferior.

# Usuari Data
3e  jaquerol 01/03/2022
1e  Hypergg2000 13/03/2022
4e  Alexandrai... 11/03/2022

Classificació oberta
Usuaris que ja han superat 4t d'ESO.

# Usuari Data
Professor/a  arakelov 01/03/2022
Professor/a  montserrat... 02/03/2022
Universitat  Oriol47 08/03/2022
Curs indeterminat  Hiperboloide 01/03/2022
Professor/a  luca.passo... 01/03/2022
Professor/a  JABorrás 01/03/2022
1b  Alexia2005 28/03/2022
Curs indeterminat  fakeone 13/03/2022