Com que $a=b=1$ dona una solució vàlida, investiguem només el cas $a\neq b$. I només estudiem en el cas $a>b$, l'altre és igual canviant l'$a$ per la $b$. Treiem factor comú a l'esquerra $2^b$. Aleshores: $$2^b(2^{a-b}+1)=c^2$$

Com que l'esquerra és un quadrat perfecte, cal que el seu nombre de factors de $2$ sigui parell. Per tant cal que $b$ sigui parell i cal que $2^b$ sigui un quadrat perfecte. Així que és necessari que $2^{a-b}+1$ sigui un quadrat perfecte. Quan passa això?

Com hem dit en la pista $1$, per algun $x$ enter positiu, $2^{a-b}+1=x^2$. Passem l'$1$ a la dreta i factoritzem: $$2^{a-b} = (x+1)(x-1) $$

Ara, adonem-nos que $x-1,x+1$ són dos potències de $2$ amb diferència $2$. Això només ens deixa una possibilitat de $x$... A quin valor de $a-b$ correspon?

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.