Si tots els nombres són major o iguals a $2$ mai podrà ser certa la igualtat, perquè el producte de dos enters positius sempre és major que la suma, a no ser que un dels dos sigui $1$ o els dos siguin $2$. En el nostre cas cal que algun sigui $1$. Suposem que és $a$. De nou, podem provar valors i descartar-ne quasi tots perquè en la major part dels casos el producte és molt més gran que la suma.

Recordeu que demanem nombre de ternes ordenades!

Com en la pista $1$, suposem que $a=1$. Si tots dos $b,c$ fossin major o iguals a $3$, $bc \leq b+c+3 > b+c+a$, per tant un dels dos és menor o igual a $2$.

Si provem $b = 1$, trobem $c = c+2$ que és impossible, però amb $b=2$ sí que trobem la solució $c=3$. Per tant, hem vist que una solució deu tenir un $1$, un $2$ i un $3$. Aleshores la resposta serà el nombre de maneres d'ordenar els tres números.

Si tots els nombres són major o iguals a $2$ mai podrà ser certa la igualtat, perquè el producte de dos enters positius sempre és major que la suma, a no ser que un dels dos sigui $1$ o els dos siguin $2$. En el nostre cas cal que algun sigui $1$. Suposem que és $a$. De nou, podem provar valors i descartar-ne quasi tots perquè en la major part dels casos el producte és molt més gran que la suma.

Suposem que $a=1$. Si tots dos $b,c$ fossin major o iguals a $3$, $bc \leq b+c+3 > b+c+a$, per tant un dels dos és menor o igual a $2$.

Si provem $b = 1$, trobem $c = c+2$ que és impossible, però amb $b=2$ sí que trobem la solució $c=3$. Per tant, hem vist que una solució deu tenir un $1$, un $2$ i un $3$. Aleshores la resposta serà el nombre de maneres d'ordenar els tres números.

Com que $a$ pot agafar el valor $1,2,3$, $b$ pot agafar algun dels dos valors restants i $c$ ha de prendre el valor restant, el nombre de maneres d'ordenar $1,2,3$ i per tant el nombre de solucions és $\boxed{6}$.