Intenta raonar en quin ordre han d'estar col·locats els nombres enlloc de posar-te a provar un munt d'ordenacions. Primer, adona't que començar l'ordenació per $3,2,1$ no té sentit, perquè intercanviant el $3$ i el $2$ augmentes el segon producte sense canviar el primer, de manera que el valor global augmenta.

Per tant tenim que $a_1 <= a_2$ en una ordenació ideal, però la igualtat no pot ser i per tant $a_1 < a_2$. Ja que del contrari si els donem la volta l'expressió es fa més gran. A partir d'ara, suposarem que estem sempre amb una ordenació ideal (amb valor màxim de l'expressió). Ara, podem refinar aquesta idea. Si li donem la volta al segment de termes $a_1,a_2,a_3$, l'únic terme que canvia de valor és el $a_3a_4$. Aleshores en el cas ideal l'expressió es deuria fer més petita o igual quan fem això, per tant $a_1 <= a_3$. Com que no és possible la igualtat, $a_1 < a_3$. Podem repetir aquest raonament, donant-li la volta a un segment fins que concloem que $a_1< a_2,a_3, \ldots a_9$. Si intentem fer-ho amb $a_{10}$ trobem que l'expressió es queda igual i no podem treure cap conclusió sobre $a_{10}$. Però de fet com que la situació és simètrica podem fer exactament el mateix raonament $a_{10}$ per concloure que $a_{10} < a_9,a_8,\ldots a_2$. Per tant, $a_1, a_{10}$ són els números més petits. Això vol dir que $a_1$ i $a_{10}$ són $1$ i $2$. Per simetria podem suposar que és $a_1 = 1, a_{10} = 2$.

Ara, intenta fer servir aquesta mena de lògica per treure informació sobre els termes intermitjos de l'ordenació.

Ara analitzem $a_2$. Si invertim $a_2,a_3$ el canvi en l'expressió es pot calcular com: $$ a_3a_1 + a_2a_4 - a_2a_1 -a_3a_4 = (a_2-a_3)(a_4-a_1) < 0$$

Aquesta factorització és molt útil perque ens permet deduir, sabent que $a_1 < a_4$, que tenim $a_2 < a_3$ De nou, si invertim segments més llargs arribem per la mateixa lògica a que $a_2 < a_3, a_4, \ldots a_8,a_9$. El nostre raonament funciona sempre que $a_1$ sigui més petit, però això passa sempre perquè ja hem descobert que $a_1 = 1$. Després fem el mateix amb $a_9$. Amb el raonament simètric arribem a que $a_9 < a_8,a_7, \ldots a_3$. Aquí no podem fer el cas $a_2$ perquè caldria $a_{10} < a_1$, cosa que és falsa. Per tant tenim que $a_2$ és el tercer número més petit, i que $a_9$ és el quart més petit. En particular, tenim que $a_2 = 3, a_9 = 4$.

Ara continuem amb el mateix raonament i concloem que l'ordenació ideal és $1,3,5,7,9,10,8,6,4,2$, o la simètrica. Calculeu-ne el valor associat.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.