Anem provant valors i acabarem trobant un número que funcioni. Per ahorrar-nos treball podem recordar el criteri de la divisibilitat per $9$. Si un número és múltiple de $9$, la suma de les xifres és múltiple de $9$. Si el nombre és de poques xifres, té sentit esperar que la suma de xifres sigui $9$.

Això ens fa pensar en algun nombre de dues xifres múltiple de $9$.

Els múltiples de $9$ són $9,18,27,35, \ldots$ Quin funciona?

Si $n$ i $2n$ tenen la mateixa suma de xifres, és que tenen el mateix residu quan dividim entre $9$. Per tant, la diferència $2n-n = n$ és múltiple de $9$. Aleshores considerem múltiples de $9$.

Comencem provant el $18$. $$ 18\cdot 1 = 18, 18 \cdot 2 = 36, 18\cdot 3 = 54, 18\cdot 4 = 72, 18\cdot 5 = 90$$ $$ 18\cdot 6 = 108, 18\cdot 7 = 126, 18\cdot 8 = 144, 18\cdot 9 = 162$$

I directament comprovem que funciona.

En conclusió, la resposta és $\boxed{18}$.