Formulem el problema de forma matemàtica. Sigui $x$ un enter positiu. La condició d'acabar en els mateixos dígits és equivalent a tenir diferència múltiple de $100$. Per tant, ens demanen el valor de $x$ més gran en $\{10,11,\ldots,99\}$ que satisfà: $$ 100| x^2-x$$

Això es pot factoritzar de manera senzilla com $2^2\cdot 5^2 | x(x-1)$. A més, $x-1,x$ són nombres consecutius i per tant no comparteixen cap factor. Aleshores un dels nombres tindrà tots els factors $2$ i l'altre tots els factors $5$, o bé un tindrà tots els factors $2$ i tots els $5$. Això ens porta a quatre possibilitats diferents...

La primera possibilitat seria $100|x$, però és impossible amb els nombres amb els que treballem. Després quedaria que $100|x-1$. De nou, impossible en el nostre rang de nombres. Ara queden dues opcions: $$ \text{(i) } 4|x, 25|x-1 \quad\text{(ii) } 25|x, 4|x-1 $$

La restricció de que hi hagi un múltiple de $25$ ens facilita molt la cerca. Si mirem els casos possibles d'aquesta manera veiem que la condició (i) només es satisfà per $76, 176, 276, \ldots$. En el nostre rang, només $76$. Si fem el mateix amb la condició (ii), veiem que es satisfà per $25, 125, 225, \ldots$. En el nostre rang, només $25$.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.