Per resoldre aquest problema has de fer dues coses: escollir un conjunt de números "gran" amb la propietat, i, per altra banda, justificar que no pot haver cap conjunt de números més gran amb la mateixa propietat.

Per la primera part, et pot ajudar pensar en els nombres senars/parells.

Per la segona part, adona't que si tenim $n$ números escollits, no podem afegir als escollits la diferència de cap parella de números escollits. Però si fem les diferències amb el número escollit més petit, tenim $n-1$ diferències diferents.

Pots escollir els nombres senars, ja que la suma de dos nombres senars sempre és parella.

I continuant l'argument anterior, si tenim $n$ números escollits, ens haurem deixat al menys $n-1$ números sense escollir (les $n-1$ diferències que hem dit abans). Per tant $n + n-1 \leq 20$, això implica que $n\leq 10$.

Finalment, quants nombres senars hi ha entre $1$ i $20$?

Una construcció que funciona és escollir els nombres senars per sota de $20$. Funciona perquè la suma de dos nombres senars sempre és un nombre parell (això es pot veure com $2k+1 + 2l+1 = 2(k+l+1)$). De fet no és la única, també podem escollir tots els nombres entre $11$ i $20$, que sempre tenen una suma major que $20$. Per tant, podem escollir al menys $10$ números.

A més, podem fer una observació fonamental per limitar el nombre de números escollits. Si $a,b$ són números escollits amb $a < b$, $b-a$ no pot ser escollit perquè del contrari $b = (b-a)+a$ on tots els números són escollits. Per tant, la diferència de números escollits mai és escollida.

Si tinguèssim $11$ números escollits, les diferències entre el més petit i la resta serien $10$ diferències diferents. A més, diferents dels números escollits. Però per tant entre els escollits i les diferències tindriem $21$ números diferents entre $1$ i $20$, que no és possible.

Per tant, el màxim possible és $\boxed{10}$ números escollits.