Recorda que ser múltiple de diversos números a la vegada és equivalent a ser múltiple del seu mínim comú múltiple. El de $2,3,4$ per exemple és $2^2\cdot 3 = 12$

Sigui $x$ el nombre de síndries de Pere. El que sabem és que $x-1$ és múltiple de tots els enters positius fins $k$. Si $k$ fos $3$, caldria que $x-1$ fos múltiple de $6$ i tindriem moltes possibilitats: $x=7,13, \ldots$. Quan tindrem que només hi ha una possibilitat per sota de $100$?

Si $k\leq 4$, basta que $x-1$ sigui múltiple de $12$. Llavors $13, 25$ funcionen. En canvi, $k=6,7$ ens dona que $x-1$ és múltiple de $60$, de manera que només pot ser $x-1 = 60$.

Si $k\leq 4$, basta que $x-1$ sigui múltiple de $12$. Llavors $13, 25$ funcionen i no tenim $x$ únic amb la propietat. En canvi, $k=6,7$ ens dona que $x-1$ és múltiple de $60$, de manera que només tenim una possibilitat $x-1 = 60$. I per altra banda $k\geq 8$, ens requereix $x-1$ múltiple de $120$, que és impossible en el rang de $x$ considerat.

Per tant només queda la possibilitat $x = \boxed{61}$.