Intentarem primer esbrinar quin és el màxim nombre de xifres que pot tenir $N$.

Podem resumir l'enunciat com que hem de trobar el major $N$ tal que existeix $x\in\{2,\ldots,9\}$ que compleix: $$\text{suma\_digits}(N\cdot x)=N$$ Si \(N\) té \(d\) xifres, aleshores \(N\le 10^{d}-1\).

Si multipliquem $N$ per $x\le9$, tindrem: $$N\cdot x\;\leq\;9(10^{d}-1) \;<\; 10^{d+1}$$

És a dir, que $N\cdot x$ té com a molt $d+1$ xifres.

Però la suma màxima d'un nombre de $d+1$ xifres es donaria quan tot són $9$s, per tant: $$N\;=\;\text{suma\_digits}(N\cdot x)\;<\;9(d+1)$$

Recapitulant, tenim que $N$ té $d$ xifres, i també que $N$ és menor que $9(d+1)$. Per qualsevol valor de $d\ge 3$, aquesta condició no es compleix. Pensem que amb $d=3$, $N$ seria com a mínim $100$ ($3$ xifres), però hauria de ser menor que $9(d+1)=9\cdot4=36$.

Si suposem que $N$ té dues xifres, tindrem que: $$N < 9(d+1) = 2\cdot 3=27$$

I per tant ja hem vist que $N$ ha de ser menor que $27$.

Ara que sabem que $N$ té dues xifres i que, necessàriament, $N < 27$, podem acotar encara més el rang de valors que cal comprovar.

Observem que la suma de xifres d’un nombre creix molt més lentament que el mateix nombre. Si multipliquem un nombre per un dígit entre $2$ i $9$, el resultat pot augmentar considerablement, però la seva suma de xifres mai pot créixer tant com el producte.

Per exemple, per a $N = 20$, qualsevol múltiple seu entre $2$ i $9$ dona un nombre d’entre $40$ i $180$, i la suma de xifres d’un nombre en aquest rang és com a màxim $19$, que ja és més petit que $20$ i per tant, no podria complir $\text{suma\_digits}(N\cdot x) = N$.

De fet, a mesura que $N$ creix, aquesta diferència només empitjora: la suma de xifres creix molt més lentament que el nombre mateix. Així doncs, per a qualsevol $N \ge 20$, és impossible que $\text{suma\_digits}(N\cdot x)$ arribi a ser igual a $N$.

En conseqüència, només cal comprovar els nombres menors o iguals que $19$.

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.