Si les $12$ monedes fossin de $5$ cèntims, podria sumar $12$ valors diferents: $$12 \text{ monedes de 5} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60\} \; (12\text{ valors})$$

Si substitueix una de les monedes de $5$ cèntims per una de $10$, pot obtenir-ne $1$ més: $$11 \text{ monedes de 5, 1 de 10} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,65\} \; (13\text{ valors})$$

Ja que $55 = 9\cdot5 + 10$, i $60 = 10\cdot5+10$.

Fixa't que per si comencem només amb monedes de $5$ cèntims, per cada moneda de $10$ que afegim (traient una de $5$), podem obtenir una suma nova: $$12 \text{ monedes de 5} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60\} \; (12\text{ valors})$$ $$11 \text{ monedes de 5, 1 de 10} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,65\} \; (13\text{ valors})$$ $$10 \text{ monedes de 5, 2 de 10} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,70\} \; (14\text{ valors})$$ $$\cdots$$

Si les $12$ monedes fossin de $5$ cèntims, podria sumar $12$ valors diferents: $$12 \text{ monedes de 5} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60\} \; (12\text{ valors})$$

Si substitueix una de les monedes de $5$ cèntims per una de $10$, pot obtenir-ne $1$ més: $$11 \text{ monedes de 5, 1 de 10} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,65\} \; (13\text{ valors})$$

Per cada moneda extra de $10$ cèntims que afegim, podem obtenir un nou valor.

Quan hem afegit $\boxed5$ monedes de $10$ cèntims, tenim: $$7 \text{ monedes de 5, 5 de 10} \; \rightarrow \; \{5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85\} \; (17\text{ valors})$$

I els valors s'obtenen, per exemple, així: $$ \begin{array}{llcl} 1. & 5 &\rightarrow& 5\text{ cèntims} \\ 2. & 10 &\rightarrow& 10\text{ cèntims} \\ 3. & 15 &\rightarrow& 5\text{ cèntims} + 10\text{ cèntims} \\ 4. & 20 &\rightarrow& 2\times 10\text{ cèntims} \\ 5. & 25 &\rightarrow& 5\text{ cèntims} + 2\times 10\text{ cèntims} \\ 6. & 30 &\rightarrow& 3\times 10\text{ cèntims} \\ 7. & 35 &\rightarrow& 5\text{ cèntims} + 3\times 10\text{ cèntims} \\ 8. & 40 &\rightarrow& 4\times 10\text{ cèntims} \\ 9. & 45 &\rightarrow& 5\text{ cèntims} + 4\times 10\text{ cèntims} \\ 10. & 50 &\rightarrow& 5\times 10\text{ cèntims} \\ 11. & 55 &\rightarrow& 5\text{ cèntims} + 5\times 10\text{ cèntims} \\ 12. & 60 &\rightarrow& 2\times 5\text{ cèntims} + 5\times 10\text{ cèntims} \\ 13. & 65 &\rightarrow& 3\times 5\text{ cèntims} + 5\times 10\text{ cèntims} \\ 14. & 70 &\rightarrow& 4\times 5\text{ cèntims} + 5\times 10\text{ cèntims} \\ 15. & 75 &\rightarrow& 5\times 5\text{ cèntims} + 5\times 10\text{ cèntims} \\ 16. & 80 &\rightarrow& 6\times 5\text{ cèntims} + 5\times 10\text{ cèntims} \\ 17. & 85 &\rightarrow& 7\times 5\text{ cèntims} + 5\times 10\text{ cèntims} \end{array} $$