Els conjunts de tres nombres enters $(a,b,c)$ que compleixen $a^2+b^2=c^2$ s'anomenen ternes pitagòriques.

Podem reformular aquesta qüestió com: quants terns pitagòrics hi ha amb $a$ o $b$ igual a $20$?

Per respondre a aquesta pregunta, haurem de saber més sobre els terns pitagòrics. Per una banda, donat un tern pitagòric, com per exemple: $$3^2+4^2=5^2$$ En podem obtenir més multiplicant cada terme per un mateix factor: $$\begin{array}{cl} (\times2) & 6^2+8^2=10^2 \\\\ (\times3) & 9^2+12^2=15^2 \\\\ \cdots & \quad \cdots \end{array}$$

Anomenem tern pitagòric primitiu aquells en què $(a,b,c)$ són primers entre ells, de manera que tots els terns pitagòrics són o bé primitius o bé múltiples d'un primitiu.

Comencem buscant els terns pitagòrics primitius que podrien formar un catet de costat $20$.

Els divisors de $20$ són: $1, 2, 4, 5, 10, 20$. Podem descartar $1,2$ perquè no hi ha terns amb catets $1$ o $2$, el més petit és $3^2+4^2=5^2$.

Hi haurà dues possibilitats: que $20$ siga un múltiple de $a$ o que siga un múltiple de $b$.

Suposem que $20$ és un múltiple de $a=m^2-n^2$. Com que $b=2mn$ és parell, $a$ ha de ser senar (si $a$ i $b$ són parells, llavors $c$ també serà parell i el tern no serà primitiu). L'únic divisor senar de $20$ és $5$, i per tant tindrem que:

$a=m^2-n^2$	$m$	$n$	$b=2mn$	tern primitiu	tern
$5$	$3$	$2$	$12$	$5^2+12^2=13^2$	$20^2+48^2=52^2$

Suposem ara que $20$ és un múltiple de $b=2mn$, llavors provem els divisors parells de $20$...

Entra o registra't per consultar les solucions dels Problemes del mes de 4t d'ESO i 2n de batxillerat.