No coneixes la Contrarellotge matemàtica?

Descobreix com funciona una contrarellotge entrant al Concurs de prova:

Visita les pàgines dels concursos finalitzats per veure els enunciats i solucions.

Problemes del mes
Els primers problemes del mes es publicaran el setembre de 2017.
Properes contrarellotges

Contrarellotge temàtica: les hores
Nivell: 2n d'ESO

Dilluns, 9 d'octubre de 2017 a les 19:00
× 1 participant


Contrarellotge temàtica: les hores
Nivell: 4t d'ESO

Dilluns, 16 d'octubre de 2017 a les 19:00
× 2 participants


Contrarellotge temàtica: les hores
Nivell: 2n de Batxillerat

Dilluns, 23 d'octubre de 2017 a les 19:00
× 3 participants

Contrarellotges passades

Contrarellotge temàtica: els escacs
Nivell: 2n de Batxillerat

Dilluns, 5 de juny de 2017 a les 19:00
× 7 participants


Contrarellotge temàtica: els escacs
Nivell: 4t d'ESO

Dilluns, 22 de maig de 2017 a les 19:00
× 27 participants


Contrarellotge temàtica: els escacs
Nivell: 2n d'ESO

Dilluns, 15 de maig de 2017 a les 19:00
× 27 participants

Properes contrarellotges: sobre els escacs i amb premi!

16 de març de 2017 a les 20:00, per Víctor López Ferrando.   Cap comentari.

Actualització: hem canviat les dates que havíem anunciat inicialment per no fer coincidir cap concurs amb el lliurament de premis del Cangur (29 de maig). A més, sí que realitzarem una contrarellotge de 2n de Batxillerat (inicialment havíem dubtat per la proximitat de les PAU).

Finalment, les properes contrarellotges queden convocades els dies:

  • Dilluns 15 de maig a les 19h: 2n d'ESO.
  • Dilluns 22 de maig a les 19h: 4t d'ESO.
  • Dilluns 5 de juny a les 19h: 2n de Batxillerat.

El tema d'aquestes proves seran els escacs, així que hi hauran alguns problemes sobre el tauler d'escacs, els salts de cavall, etc.

Com a novetat, aquests concursos tindran un premi per al primer classificat: un pòster amb figures geomètriques del món antic.

Ja podeu registrar-vos per participar als concursos: així rebreu un avís els dies abans de la prova i us informarem de qualsevol novetat.

Les primeres contrarellotges han sigut un èxit

16 de març de 2017 a les 8:00, per Víctor López Ferrando.   Cap comentari.

Les primeres contrarellotges han sigut un èxit! Donem les gràcies als més de 100 usuaris que han participat en les tres proves i felicitem els guanyadors: Gauss (2n d'ESO), Julian (4t d'ESO) i jolivetti (2n de batxillerat).

La vostra participació i entusiasme ens anima a seguir amb el projecte i aviat convocarem les properes contrarellotges.

L'estudiant Pau Cartanyà ens ha enviat una solució alternativa al problema 15 de la contrarellotge de 2n de batxillerat, més elegant que la solució oficial. Aquí us reproduïm el problema perquè el penseu una mica, i també la solució de Pau. Cal destacar que tant pcartanya com jolivetti van resoldre aquest problema correctament en a penes 1 minut i mig: impressionant!

Problema 15
5 punts

Considerem el quadrat $ABCD$ de costat unitat, on anomenem $M$ el punt mig del costat $BC$ i $N$ el punt mig del segment $BM$. Unim $M$ i $N$ amb el vèrtex $A$, i dibuixem la diagonal $BD$:

Quant mesura l'àrea ombrejada?

A. $\frac15$
B. $\frac16$
C. $\frac1{12}$
D. $\frac1{15}$
E. $\frac1{16}$
Solució enviada per Pau Cartanyà (pcartanya)  

Sigui $P$ el punt d’intersecció dels segments $AM$ i $BD$ i $Q$ el punt d’intersecció dels segments $AN$ i $BD$. Aleshores l’àrea demanada en l’enunciat correspon a l’àrea del triangle $APQ$, que anomenarem $[APQ]$. Sigui $x$ l’altura del triangle $ABP$ corresponent al vèrtex $P$ . Aleshores l’altura del triangle $BMP$ també serà $x$ ja que $P$ es troba sobre $BD$, la bisectriu de l’angle que formen els segments $AB$ i $BM$. Definim també $y$ com l’altura del triangle $ABQ$ corresponent al vèrtex $Q$. Per un raonament anàleg a l’anterior, l’altura del triangle $BNQ$ serà també $y$. Tenim la figura següent:

En primer lloc, podem veure que: $$[APQ] = [AMB] - [BMP] - [ABQ]$$ A partir d'aquí calculem $[AMB]$ i $[ANB]$ a partir de la figura ja que en coneixem les seves bases $(AB = 1)$ i les seves altures $(BM = \frac12 , BN = \frac14 )$. A més, podem veure que $[AMB] = [ABP] + [BMP]$ i que $[AN B] = [ABQ] + [BNQ]$.

Per una banda, pel triangle $AMB$ tenim: $$[AMB] = \frac{1\cdot\frac12}{2}=\frac14$$ $$[AMB] = [ABP] + [BMP] =\frac{1\cdot x}2 + \frac{\frac12\cdot x}2=\frac34x$$ Igualant les dues equacions anteriors trobem $x$: $$\frac14=\frac34x\quad\Rightarrow\quad x=\frac13$$ Amb això podem calcular l'àrea $[BMP]$ que apareixia en la primera equació. $$[BMP] =\frac{\frac12\cdot\frac13}2=\frac1{12}$$ Per l'altra banda, anàlogament podem seguir el mateix raonament pel triangle $ANB$ i trobarem $y$: $$[ANB] = \frac{1\cdot\frac14}{2}=\frac18$$ $$[ANB] = [ABQ] + [BNQ] =\frac{1\cdot y}2 + \frac{\frac14\cdot y}2=\frac58y$$ Igualant les dues equacions: $$\frac18=\frac58y\quad\Rightarrow\quad y=\frac15$$ Ara podem calcular l'àrea $[ABQ]$ que ens falta de la primera equació: $$[ABQ] = \frac{1\cdot\frac15}2 = \frac{1}{10}$$ Finalment, substituïm els valors trobats en l'equació inicial i operem: $$[APQ] = [AMB] - [BMP] - [ABQ] =$$ $$=\frac14-\frac1{12}-\frac1{10}=\frac{15-5-6}{60}=\frac4{60}=\frac1{15}$$ Això demostra que l'àrea ombrejada demanada en l'enunciat és $\frac1{15}$ i conclou el problema.

Problema de l'eclipsi solar

2 de març de 2017 a les 23:10, per Víctor López Ferrando.   Cap comentari.

Falten pocs dies per a les primeres contrarellotges i ja tenim més de 60 participants apuntats! Com a petit tast abans dels concursos, us deixo un problema per al cap de setmana.

Donada la següent imatge d'un eclipsi parcial de Sol, quin és el màxim nombre de seccions en què podem dividir aquesta "mitja lluna" traçant dues línies rectes?

Mostra solució

Com algú ha comentat, la solució és $6$. Vegem una forma de dividir la mitja lluna en $6$ parts:

Ara bé, també haurem de demostrar que no es pot dividir en $7$ parts! Per fer-ho, adonem-nos de la següent propietat: cada cop que una recta entra a la figura, la divideix en dues seccions (crea una secció nova).

Així, en traçar la primera recta, afegirem tantes seccions com vegades entri la recta a la figura. I és evident que la recta pot entrar $2$ cops com a màxim. Així, després de la primera recta tenim $1+2=3$ seccions.

La segona recta té la mateixa limitació respecte a la figura inicial (només podrà crear $2$ seccions noves), però en pot crear una tercera si també talla la primera recta dins de la figura. En total: $3+2+1=6$. I hem vist al nostre dibuix que sí que és possible.

Primera sèrie de contrarellotges. Tema: el Sol

12 de febrer de 2017 a les 21:00, per Víctor López Ferrando.   Cap comentari.

Queden convocades les tres primeres contrarellotges: seran el 6, el 8 i el 10 de març a les 7 de la tarda, per als nivells de 2n d'ESO, 4t d'ESO i 2n de Batxillerat, respectivament. El tema de les contrarellotges serà el Sol, així que espereu problemes sobre òrbites, eclipsis i temperatures una mica més altes del que estem acostumats!

Per apuntar-vos a una contrarellotge, visiteu la pàgina del concurs i cliqueu el botó corresponent. D'aquesta manera us avisarem si hi ha cap canvi d'aquí al dia del concurs.

Llegiu les instruccions per saber els detalls del funcionament de les contrarellotges, i escriviu un comentari si teniu algun dubte al respecte.

Molta sort a tothom!