Descobreix com funciona una contrarellotge entrant al Concurs de prova:
Visita les pàgines dels concursos finalitzats per veure els enunciats i solucions.
Registra't en 1 minut i t'informarem de les properes convocatòries:
Queden 1 setmana i 1 dia per respondre.
| Nivell | Medalles |
|---|---|
| 6è de Primària | 50834 |
| 2n d'ESO | 601044 |
| 4t d'ESO | 17611 |
| 2n de Batxillerat | 23712 |
Contrarellotge: tardor 2026
Nivell: 6è de Primària
Diumenge, 4 d’octubre de 2026 a les 16:00
×
12 participants
Contrarellotge: tardor 2026
Nivell: 2n d'ESO
Diumenge, 11 d’octubre de 2026 a les 16:00
×
12 participants
Contrarellotge: tardor 2026
Nivell: 4t d'ESO
Diumenge, 18 d’octubre de 2026 a les 16:00
×
12 participants
Contrarellotge: tardor 2026
Nivell: 2n de Batxillerat
Diumenge, 25 d’octubre de 2026 a les 16:00
×
4 participants
Final presencial 2026
Nivell: 6è de Primària
Dissabte, 13 de juny de 2026 a les 10:30
×
26 participants
×
24 participants virtuals
Final presencial 2026
Nivell: 2n d'ESO
Dissabte, 13 de juny de 2026 a les 10:30
×
28 participants
×
27 participants virtuals
Final presencial 2026
Nivell: 4t d'ESO
Dissabte, 13 de juny de 2026 a les 10:30
×
15 participants
×
9 participants virtuals
Final presencial 2026
Nivell: 2n de Batxillerat
Dissabte, 13 de juny de 2026 a les 10:30
×
10 participants
×
4 participants virtuals
Descobreix com funciona una contrarellotge entrant al Concurs de prova:
Visita les pàgines dels concursos finalitzats per veure els enunciats i solucions.
Registra't en 1 minut i t'informarem de les properes convocatòries:
Les primeres contrarellotges han sigut un èxit! Donem les gràcies als més de 100 usuaris que han participat en les tres proves i felicitem els guanyadors: Gauss (2n d'ESO), Julian (4t d'ESO) i jolivetti (2n de batxillerat).
La vostra participació i entusiasme ens anima a seguir amb el projecte i aviat convocarem les properes contrarellotges.
L'estudiant Pau Cartanyà ens ha enviat una solució alternativa al problema 15 de la contrarellotge de 2n de batxillerat, més elegant que la solució oficial. Aquí us reproduïm el problema perquè el penseu una mica, i també la solució de Pau. Cal destacar que tant pcartanya com jolivetti van resoldre aquest problema correctament en a penes 1 minut i mig: impressionant!
Considerem el quadrat $ABCD$ de costat unitat, on anomenem $M$ el punt mig del costat
$BC$ i $N$ el punt mig del segment $BM$. Unim $M$ i $N$ amb el vèrtex
$A$, i dibuixem la diagonal $BD$:
Quant mesura l'àrea ombrejada?
Sigui $P$ el punt d’intersecció dels segments $AM$ i $BD$ i $Q$ el punt d’intersecció dels segments $AN$ i $BD$. Aleshores l’àrea demanada en l’enunciat correspon a l’àrea del triangle $APQ$, que anomenarem $[APQ]$. Sigui $x$ l’altura del triangle $ABP$ corresponent al vèrtex $P$ . Aleshores l’altura del triangle $BMP$ també serà $x$ ja que $P$ es troba sobre $BD$, la bisectriu de l’angle que formen els segments $AB$ i $BM$. Definim també $y$ com l’altura del triangle $ABQ$ corresponent al vèrtex $Q$. Per un raonament anàleg a l’anterior, l’altura del triangle $BNQ$ serà també $y$. Tenim la figura següent:
En primer lloc, podem veure que:
$$[APQ] = [AMB] - [BMP] - [ABQ]$$
A partir d'aquí calculem $[AMB]$ i $[ANB]$ a partir de la figura ja que en coneixem les seves bases $(AB = 1)$
i les seves altures $(BM = \frac12 , BN = \frac14 )$. A més, podem veure que $[AMB] = [ABP] + [BMP]$ i que
$[AN B] = [ABQ] + [BNQ]$.
Per una banda, pel triangle $AMB$ tenim: $$[AMB] = \frac{1\cdot\frac12}{2}=\frac14$$ $$[AMB] = [ABP] + [BMP] =\frac{1\cdot x}2 + \frac{\frac12\cdot x}2=\frac34x$$ Igualant les dues equacions anteriors trobem $x$: $$\frac14=\frac34x\quad\Rightarrow\quad x=\frac13$$ Amb això podem calcular l'àrea $[BMP]$ que apareixia en la primera equació. $$[BMP] =\frac{\frac12\cdot\frac13}2=\frac1{12}$$ Per l'altra banda, anàlogament podem seguir el mateix raonament pel triangle $ANB$ i trobarem $y$: $$[ANB] = \frac{1\cdot\frac14}{2}=\frac18$$ $$[ANB] = [ABQ] + [BNQ] =\frac{1\cdot y}2 + \frac{\frac14\cdot y}2=\frac58y$$ Igualant les dues equacions: $$\frac18=\frac58y\quad\Rightarrow\quad y=\frac15$$ Ara podem calcular l'àrea $[ABQ]$ que ens falta de la primera equació: $$[ABQ] = \frac{1\cdot\frac15}2 = \frac{1}{10}$$ Finalment, substituïm els valors trobats en l'equació inicial i operem: $$[APQ] = [AMB] - [BMP] - [ABQ] =$$ $$=\frac14-\frac1{12}-\frac1{10}=\frac{15-5-6}{60}=\frac4{60}=\frac1{15}$$ Això demostra que l'àrea ombrejada demanada en l'enunciat és $\frac1{15}$ i conclou el problema.
Falten pocs dies per a les primeres contrarellotges i ja tenim més de 60 participants apuntats! Com a petit tast abans dels concursos, us deixo un problema per al cap de setmana.
Donada la següent imatge d'un eclipsi parcial de Sol, quin és el màxim nombre de seccions en què podem dividir aquesta "mitja lluna" traçant dues línies rectes?
Com algú ha comentat, la solució és $6$. Vegem una forma de dividir la mitja lluna en $6$ parts:
Ara bé, també haurem de demostrar que no es pot dividir en $7$ parts! Per fer-ho, adonem-nos de la següent propietat: cada cop que una recta entra a la figura, la divideix en dues seccions (crea una secció nova).
Així, en traçar la primera recta, afegirem tantes seccions com vegades entri la recta a la figura. I és evident que la recta pot entrar $2$ cops com a màxim. Així, després de la primera recta tenim $1+2=3$ seccions.
La segona recta té la mateixa limitació respecte a la figura inicial (només podrà crear $2$ seccions noves), però en pot crear una tercera si també talla la primera recta dins de la figura. En total: $3+2+1=6$. I hem vist al nostre dibuix que sí que és possible.
Queden convocades les tres primeres contrarellotges: seran el 6, el 8 i el 10 de març a les 7 de la tarda, per als nivells de 2n d'ESO, 4t d'ESO i 2n de Batxillerat, respectivament. El tema de les contrarellotges serà el Sol, així que espereu problemes sobre òrbites, eclipsis i temperatures una mica més altes del que estem acostumats!
Per apuntar-vos a una contrarellotge, visiteu la pàgina del concurs i cliqueu el botó corresponent. D'aquesta manera us avisarem si hi ha cap canvi d'aquí al dia del concurs.
Llegiu les instruccions per saber els detalls del funcionament de les contrarellotges, i escriviu un comentari si teniu algun dubte al respecte.
Molta sort a tothom!
És un plaer per a mi donar-vos la benvinguda a la Contrarellotge matemàtica!
Inspirat per les Proves Cangur, i també pels concursos de programació, fa temps que volia portar els concursos matemàtics al món online. Les contrarellotges són concursos amb problemes d'estil test, en què tothom participa alhora, i en què els problemes s'han d'anar resolent un rere l'altre.
Amb l'objectiu de difondre les matemàtiques, el seu aprenentatge i gaudi, anirem organitzant concursos periòdicament. Els concursos vindran de tres en tres, un per cada nivell: 2n d'ESO, 4t d'ESO i 2n de Batxillerat. A més, els concursos seran temàtics, és a dir, la majoria d'enunciats seguiran un tema comú com a fil conductor.
Aquest és un projecte nou, en fase BETA. Això significa que poden sorgir alguns errors en el funcionament de la web, i per això us demanaré paciència. Però també significa que el projecte està obert a noves idees i propostes (ja en tinc algunes en ment), i totes seran ben rebudes.
Espero que us agrade la proposta, us apunteu a les contrarellotges que anirem preparant i feu difusió entre els vostres amics i companys!